Haciendo uso de funcionales en el formalismo de Martin Siggia Rose

Actualmente estoy estudiando "Dinámica crítica: un enfoque de teoría de campo para el comportamiento de escala de equilibrio y no equilibrio", y me encontré con un problema que no puedo resolver.

Si conoce los derivados funcionales y/o el formalismo de Martin-Siggia-Rose, omita el párrafo bastante largo destinado a brindar algo de contexto. Espero que las anotaciones sean estándar (soy nuevo en el campo).

El contexto

Si tiene acceso al libro (desafortunadamente, no hay una versión disponible públicamente), a partir del capítulo 4, el formalismo Martin-Siggia-Rose está configurado para la dinámica de Langevin, en este caso con el ejemplo:

Generalizando los hamiltonianos de Landau-Ginzburg-Wilson para los modelos de Ising y Heisenberg,[...], a sistemas isotrópicos de n componentes que experimentan una transición de fase de segundo orden, consideramos

$$\begin{equation} H[S]=\int d^{d}x \sum_{\alpha} \left(\frac{r}{2}[S^{\alpha}(x)]^{2}+\frac{1}{2}[\nabla S^{\alpha}(x)]^{2}+\frac{u}{4!} \sum_{\beta}[S^{\alpha}(x)]^{2}[S^{\beta}(x)]^{2}-h^{\alpha}(x)S^{\alpha}(x) \right) \end{equation}$$ Con $S$el parámetro de orden de n componentes y h el campo externo conjugado.

La evolución asociada es una ecuación de Langevin, dada por:

$$\begin{equation} \frac{\partial S^{\alpha}(x,t)}{\partial t}=-D(i\nabla)^{a} \frac{\delta H[S]}{\delta S^{\alpha}(x,t)}+\zeta^{\alpha}(x,t) \end{equation}$$

Cuando las fluctuaciones se tienen en cuenta mediante$\zeta$, un ruido blanco diagonal de media cero$\left< \zeta^{\alpha}(x,t) \zeta^{\beta}(x',t') \right> = 2 L\delta(x-x')\delta(t-t')\delta^{\alpha\beta}$, y$L=D(i\nabla)^{a}$.

De aquí se deriva el funcional generador para las funciones de correlación,

$$\begin{equation} Z[\tilde{j},j]=\left< exp \int d^{d}xdt \sum_{\alpha} \tilde{j^{\alpha}}(x,t) \tilde{S^{\alpha}}(x,t)+j^{\alpha}(x,t)S^{\alpha}(x,t)\right> \end{equation}$$

El$j$siendo las corrientes de fuente y las cantidades de tilde los campos MSR auxiliares/corrientes de fuente

Mediante derivadas funcionales de las corrientes, tomadas a corrientes nulas, se obtienen las funciones de correlación.

Tomar el logaritmo de Z le da la función generadora de las funciones de correlación conectadas , y ahora realizar una transformada de Legendre del logaritmo con las nuevas variables,

$$\begin{align} \tilde{\Phi^{\alpha}}(x,t)=\frac{\delta \log Z[\tilde{j},j]}{\delta \tilde{j^{\alpha}}(x,t)} && \Phi^{\alpha}(x,t)=\frac{\delta \log Z[\tilde{j},j]}{\delta j^{\alpha}(x,t)} \end{align}$$

Uno termina con el generador funcional para funciones de vértice,

$$\begin{equation} \Gamma[\tilde{\Phi^{\alpha}},\Phi^{\alpha}]=-\log Z[\tilde{j},j]+ \int d^{d}xdt \sum_{\alpha} \left( \tilde{j^{\alpha}}(x,t)\tilde{\Phi^{\alpha}}(x,t)+j^{\alpha}(x,t)\Phi^{\alpha}(x,t)\right) \end{equation}$$

Todo esto para mapear una expansión perturbativa de las funciones de correlación en términos de diagramas de Feynman. Las funciones de correlación conectadas corresponderán en la teoría de la perturbación a la contribución del gráfico conectado, pero como a menudo en la teoría de campos, uno está interesado en los componentes básicos "reales" de la expansión esquemática, a saber, los gráficos irreducibles de 1 partícula cuya contribución proviene del funcional derivados de$\Gamma$, las funciones de vértice,

$$\begin{equation} \Gamma^{(\tilde{N},N)}_{\{\alpha_{i}\};\{\alpha_{k}\}}(\{x_{i},t_{i}\};\{x_{k},t_{k}\})=\prod^{\tilde{N}}_{i} \frac{\delta}{\delta \tilde{\Phi^{\alpha_{i}}}(x_{i},t_{i})} \prod^{N}_{k} \frac{\delta}{\delta \Phi^{\alpha_{k}}(x_{k},t_{k})} \Gamma[\tilde{\Phi^{\alpha}},\Phi^{\alpha}] \biggr\rvert_{j=\tilde{j}=0} \end{equation}$$

Se puede demostrar, que$\Gamma^{(1,1)}_{\alpha;\beta}(x,t;x',t')$es de la forma$\Gamma^{(1,1)}(x-x',t-t')\delta^{\alpha\beta}$. A su vez esta forma es interesante porque tenemos, después de realizar una transformada de Fourier,

$$\begin{equation} \Gamma^{(1,1)}(q,\omega)=G(-q,-\omega)^{-1} \end{equation}$$

Así, hasta un signo en las variables, los diagramas de bucle contribuyen a$\Gamma^{(1,1)}(q,\omega)$no son más que los gráficos de autoenergía irreducibles de una partícula.

Por lo tanto, se puede calcular una expansión perturbativa del propagador calculando solo la contribución de estos gráficos.

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El problema en sí

Para calcular la expansión perturbativa del propagador, parece que primero debe establecer las reglas de Feynman para su teoría y luego utilizar los resultados anteriores para afirmar que solo necesita calcular las contribuciones de los gráficos irreducibles de 1 partícula.

Pero también vimos una forma explícita del propagador en términos de funciones de vértice. Calculemos directamente$\Gamma^{(1,1)}_{\alpha;\beta}(x,t;x',t')$entonces !

$$\begin{equation} \frac{\delta \Gamma[\tilde{\Phi},\Phi]}{\delta \tilde{\Phi}^{\alpha}(x,t)} =\tilde{j}^{\alpha}(x,t) \end{equation}$$

y

$$\begin{equation} \frac{\delta^{2} \Gamma[\tilde{\Phi},\Phi]}{\delta \tilde{\Phi}^{\alpha}(x,t) \delta\Phi^{\beta}(x',t')} =\frac{\delta \tilde{j}^{\alpha}(x,t)}{\delta\Phi^{\beta}(x',t')} = ? \end{equation}$$

La primera identidad es bastante fácil de obtener. Sin embargo, no puedo calcular la derivada de la corriente en absoluto. Traté de hacer uso de la definición de$\tilde{\Phi}$para hacer un cambio de variable pero ahí parece ser un cambio funcional de variables. Intenté el método habitual, es decir, tomar el caso multivariable y dejar que el número de variables llegara al infinito, convirtiendo las sumas en integrales, pero no resultó nada.

¿Hay alguna forma de proceder así? ¿Es este "cambio funcional de variable" siquiera una cosa? Y si no, ¿es posible calcular las funciones de vértice de otra manera?

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Muchas gracias por leer hasta aquí. Realmente no espero una respuesta completa (a menos que el Sr. Tauber esté en este sitio y vea mi publicación), pero cualquier referencia, ya sea a contenido relacionado en QFT o SFT, o a un texto matemático sobre esta idea de cambio funcional de variable será muy apreciado.

No dude en preguntar cualquier precisión que le gustaría ver sobre el asunto, es posible que haya sido demasiado rápido en el contexto (aunque ya es demasiado largo).

Nota: No pude asistir a cursos de análisis funcional durante mis estudios, por eso tuve problemas para encontrar algo de los artículos de mathSE/math. Sin embargo, estoy listo para sumergirme si es necesario.