¿Cuál es el vínculo entre las funciones de correlación estadística y QFT?

El "vínculo" proviene de la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica.

Hay un cierto diccionario que mapea cantidades desde la formulación canónica hasta integrales de ruta que se parecen mucho a las funciones de correlación de la mecánica estadística. Específicamente, supongamos que$\varphi_1, \dots, \varphi_n$son$n$valores de ciertos observables físicos que corresponden a cantidades medidas a veces$t_1 > \dots > t_n$.

Una amplitud de transición cuántica viene dada por

$$\left< 0 \right| \hat{\varphi}_1 \dots \hat{\varphi}_n \left| 0 \right>,$$

dónde$\left| 0 \right>$es el estado de vacío del sistema cuántico, y las cantidades con "sombrero" representan cuantizaciones de observables físicos (operadores lineales que actúan sobre el espacio de Hilbert).

Codifica una cierta propiedad probabilística de los sistemas cuánticos. por ejemplo, para$n = 2$, su valor absoluto al cuadrado codifica la densidad de probabilidad de una transición entre dos estados cuánticos.

En el otro lado de la correspondencia está la integral de trayectoria

$$\int Dx e^{i \hbar^{-1} S[x]} \varphi_1[x] \dots \varphi_n[x],$$

donde todas las cantidades son solo números. La expresion

$$\rho[x] = e^{i \hbar^{-1} S[x]}$$

puede pensarse como el funcional de densidad de probabilidad definido en el espacio de todas las trayectorias. Sin embargo, la similitud es solo formal: a diferencia de las densidades de probabilidad, tiene un valor complejo y generalmente está mal definida sin procedimientos delicados llamados renormalizaciones.

Este enlace se puede hacer preciso para Wightman QFT y mecánica estadística con axiomas de Osterwalder-Schrader. Sin embargo, la mayoría absoluta de los modelos QFT realistas se basan en la teoría de calibre, para la cual no existe una axiomatización conocida, por lo que el vínculo sigue siendo solo una vaga conjetura.

En realidad, hacer esto preciso para las teorías de calibre está relacionado con uno de los problemas del premio del milenio .