Función de correlación del sistema Gap

A partir de la representación espectral se puede demostrar que los correladores con huecos decaen exponencialmente. Recuerde que la función de dos puntos para un escalar es

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(p)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \frac{\rho(\mu^2)}{p^2+\mu^2}d\mu^2 \end{align}$$ dónde$\rho(\mu^2)$es la función espectral (el resultado se generaliza trivialmente para campos que no son escalares y sistemas que no son relativistas; todavía hay una representación espectral pero la ilustración será más clara aquí si usamos lo anterior). En el espacio de posición, $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \rho(\mu^2)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}d\mu^2 \end{align}$$

Ahora bien, si el espectro de$\mathcal{O}$tiene huecos, eso significa que no hay peso espectral debajo de una energía$\Delta$, es decir$\rho (\mu^2)=0$para$\mu<\Delta$.

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\int_\Delta^\infty \rho(\mu)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}2\mu d\mu\\ &=\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\frac{\exp\left(-(\mu+\Delta) r\right)}{r}2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ donde simplemente cambiamos$\mu\rightarrow\mu-\Delta$. sacando un factor $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\frac{\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\exp\left(-\mu r\right)2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ Ahora considere el comportamiento de larga distancia$r\rightarrow \infty$. La integral entonces está dominada por el límite inferior$\mu\approx 1/r\rightarrow 0$(donde la exponencial se puede aproximar con$1$). Supongamos que en esta región, es decir, cerca de la brecha, la función espectral parece$\rho\sim\mu^\alpha$. Entonces nosotros tenemos $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle &\rightarrow \frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^{1/r} \mu^\alpha d\mu \\ &=\frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r^{2+\alpha}} \end{align}$$

Esto muestra que los correladores con brechas decaen exponencialmente; un comentario anterior afirma que lo contrario no es cierto y que los sistemas sin espacios pueden tener correladores que decaen exponencialmente. Es cierto que solo hojeé el documento, pero parecía que solo discutían estados vacíos. Sin embargo, estaría interesado en los detalles de un contraejemplo.

También debo agregar que siempre debemos tener en cuenta qué grados de libertad capturan los correladores de los que estamos hablando. Si$\mathcal{O}$es un operador de electrones, entonces sabemos que el electrón tiene un hueco. Pero esto no significa que, por ejemplo, nuestro sistema sea aislante: las funciones de Green de una sola partícula no conocen los pares de Cooper, por ejemplo; esa información se codificará en la función de dos partículas verdes$^1$.

$^1$_{Aparte, también puede tener superconductores sin espacios, es decir, ni siquiera el electrón tiene un espacio completamente abierto ya que el espacio tiene nodos a lo largo de la superficie de Fermi.}