¿Disipación de fluctuación en un anillo?

Question

¿Disipación de fluctuación en un anillo?

entropía
Física
no equilibrio
mecánica estadística
fluctuación-disipación

Espaguetificación cuántica

El teorema de la fluctuación integral viene dado por:

\begin{matrix} (0) & ⟨ {mi}^{- R} ⟩ = 1 \end{matrix}

$\left< e^{-R}\right>=1\tag{0}$ dónde:

\begin{matrix} (1) & R \equiv en (\frac{{pag}_{0} ({\vec{norte}}_{0}) pag [\vec{norte} (τ), \vec{C} (τ)]}{{pag}_{F} (\vec{norte}) \cdot pag [\tilde{norte} (τ), \tilde{C} (τ)]}) \end{matrix}

$R\equiv \ln \left( \frac{p_0(\vec n_0) p[\vec n(\tau),\vec c(\tau)]}{p_f(\vec n) \cdot p[\tilde n(\tau),\tilde c(\tau)]}\right)\tag{1}$ donde mi notación sigue en parte ( arxiv:0605080 ) con

p [\vec{n} (τ), \vec{c} (τ)]

$p[\vec n(\tau),\vec c(\tau)]$ siendo el peso de la trayectoria para una trayectoria dada

\vec{n} (τ)

$\vec n(\tau)$ con estado inicial

{\vec{n}}_{0}

$\vec n_0$ . Y

p [\tilde{n} (τ), \tilde{c} (τ)]

$p[\tilde n(\tau),\tilde c(\tau)]$ siendo eso por la trayectoria

\tilde{n} (τ) \equiv n (t - τ)

$\tilde n(\tau)\equiv n(t-\tau)$ bajo el protocolo de tiempo invertido

\tilde{c} (τ) \equiv c (t - τ)

$\tilde c(\tau) \equiv c(t-\tau)$ . Por último

p_{0} ({\vec{n}}_{0})

$p_0(\vec n_0)$ es la distribución inicial y

p_{f} (\vec{n})

$p_f(\vec n)$ la distribución final.

De esto en un anillo es posible derivar la ecuación:

\begin{matrix} (2) & pag (- Δ s_{t o t}) = {mi}^{- Δ s_{t o t}} pag (Δ S_{t o t}) \end{matrix}

$p(-\Delta s_{tot})=e^{-\Delta s_{tot}}p(\Delta S_{tot})\tag{2}$ dónde

p (Δ S_{t o t})

$p(\Delta S_{tot})$ es el pdf para la producción total de entropía. Siguiendo referencias anteriores parece que esta relación se originó en ( Crooks, 1999 ).

Mi pregunta: entiendo cómo, en general, se derivan tales relaciones, pero no puedo ver de dónde $p(\Delta s_{tot})$ 's en la ecuación (2) provienen de en relación con la ecuación (1). es decir, ¿cómo nos relacionamos $p(\Delta s_{tot})$ a las probabilidades en la ecuación (1)?

Espaguetificación cuántica

Después de investigar un poco, la relación (2) parece llamarse " teorema de fluctuación de Crooks " .

Respuestas (1)

¿Disipación de fluctuación en un anillo?

Después de investigar un poco, la relación (2) parece llamarse " teorema de fluctuación de Crooks " .

Espaguetificación cuántica · Answer 1

Respuesta corta

La relación de Crooks no se puede derivar (por lo que puedo decir) directamente del " teorema de fluctuación integral " (eq. (0) en el OP) y se requiere un teorema generalizado, que analizará el resto de esta respuesta.

Notación

Seguiré la notación en la referencia {1} a continuación. Esto se resume aquí:

$\dagger$ denota cantidades relacionadas con el proceso invertido en el tiempo.
$S_\alpha[x(\tau)]$ es un funcional de la dinámica original y: $S_{α}^{†} [X (τ)^{†}, λ^{†}, F^{†}] = ε_{α} S_{α} [X (τ), λ, F]$ $S_\alpha^\dagger[x(\tau)^\dagger, \lambda^\dagger, F^\dagger]=\varepsilon_\alpha S_\alpha[x(\tau), \lambda, F]$
$g$ es una función que depende de un número arbitrario de funcionales $S_\alpha$

Teorema Generalizado

El teorema generalizado viene entonces dado por:

\begin{matrix} (A1) & ⟨ gramo ({ε_{α} S_{α}^{†} [X^{†} (τ)]}) ⟩^{†} = ⟨ gramo ({ε_{α} S_{α} [X (τ)]}) Exp (- R [X (τ)]) ⟩ \end{matrix}

$\langle g(\{ \varepsilon_\alpha S^\dagger_\alpha[x^\dagger(\tau)] \})\rangle^\dagger=\langle g(\{ \varepsilon_\alpha S_\alpha[x(\tau)] \}) \exp(-R[x(\tau)])\rangle \tag{A1}$ Esto se prueba en la página 7 de {1} y, como tal, no reproduciré la prueba aquí.

Derivación del teorema de Crooks

Ambas referencias {1} y {2} luego explican cómo derivamos el teorema de los ladrones. Consideremos primero $R[x(\tau)]$ . Iniciamos tanto la dinámica original como la inversa en el estado estacionario. Esto significa que:

R = \frac{Δ S_{metro}}{k_{B}} + en (\frac{{pag}_{i} ({\vec{X}}_{0})}{{pag}_{F} (\vec{X})})

$R=\frac{\Delta S_m}{k_B}+\ln \left( \frac{p_i(\vec x_0)}{ p_f(\vec x)}\right)$

= \frac{Δ S_{metro}}{T} + \frac{Δ V - Δ F}{T}

$=\frac{\Delta S_m}{T}+\frac{ \Delta V-\Delta \mathcal{F}}{T}$ dónde

Δ V

$\Delta V$ es el cambio de potencial y

Δ F

$\Delta \mathcal{F}$ el cambio en la energía libre. Usando

W [X (τ)] = Δ S_{metro} + Δ V

$W[x(\tau)]=\Delta S_m+ \Delta V$ obtenemos:

R = (W [X (τ)] - Δ F) / T

$R=(W[x(\tau)]-\Delta \mathcal{F})/T$ Además, elegimos que

S_{α} [x (τ)] = W [x (τ)]

$S_\alpha[x(\tau)]=W[x(\tau)]$ (que corresponde a

ε_{α} = - 1

$\varepsilon_\alpha=-1$ ) y tomar:

gramo (W [X (τ)]) = Exp (- k W [X (τ)])

$g(W[x(\tau)])=\exp(-k W[x(\tau)])$ Así (A1) se convierte en:

\begin{matrix} (A2) & ⟨ Exp (k W [X (τ)]) ⟩^{†} = Exp (Δ F / T) ⟨ Exp (- k W [X (τ)] - W [X (τ)] / T) ⟩ \end{matrix}

$\langle \exp(k W[x(\tau)]) \rangle^\dagger =\exp(\Delta \mathcal{F}/T)\langle \exp(-k W[x(\tau)]-W[x(\tau)]/T) \rangle \tag{A2}$ Tenga en cuenta que:

⟨ Exp (- α W [X (τ)]) ⟩ = \int PAG (W) {mi}^{- α W} d W

$\langle \exp(-\alpha W[x(\tau)]) \rangle=\int P(W)e^{-\alpha W} dW$ entonces tomando la transformada inversa de Laplace de (2) wrt

k

$k$ Nos da:

{PAG}^{†} (- W) = PAG (W) Exp (Δ F / T - W [X (τ)] / T)

$P^\dagger(-W)=P(W) \exp(\Delta \mathcal{F}/T-W[x(\tau)]/T)$ que es el teorema de Crooks tal como se da en términos de trabajo en lugar de la entropía como se da en el OP.

Referencias

Termodinámica estocástica de Luka Pusovnik. Disponible en: https://mafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2016_2017/luka-pusovnik-stochastic-thermodynamics.pdf
Täuber, UC, 2014. Dinámica crítica: un enfoque de teoría de campos para el comportamiento de escalado en equilibrio y no equilibrio . Prensa de la Universidad de Cambridge. (pág. 338)
Ver también https://arxiv.org/abs/1201.6381

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Espaguetificación cuántica

Espaguetificación cuántica

Respuestas (1)

Espaguetificación cuántica

Respuesta corta

Notación

Teorema Generalizado

Derivación del teorema de Crooks

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