¿Cuál es la relación fluctuación-disipación para energías cinéticas no cuadráticas?

¡Bienvenido a Física StackExchange! Pero noto que tiene mucha experiencia en Math StackExchange, donde puede obtener respuestas más detalladas y rigurosas a esta pregunta, ciertamente en comparación con la respuesta bastante básica que estoy a punto de dar.

La respuesta corta es que la relación fluctuación-disipación permanecerá sin cambios, pero las ecuaciones en sí mismas se modificarán. Cambiar la expresión de la energía cinética tiene dos consecuencias principales, que deben vincularse. En primer lugar, la distribución de equilibrio a la temperatura.$T$en el conjunto canónico,

$$\rho_{eq}(q,p) = \exp[-V(q)/k_BT] \, \exp[-E_{kin}(p)/k_BT]$$ ya no será una función gaussiana multivariante de los momentos. Esa declaración básicamente surge sin considerar la dinámica, pero por supuesto, ¡la dinámica tiene que ser consistente con ella! En segundo lugar, las ecuaciones de movimiento clásicas (hamiltonianas), a las que las ecuaciones de Langevin deberían reducirse en ausencia de términos de fuerza de fricción y aleatorios, tomarán su forma más general $$dq = \nabla_p E_{kin}(p)\, dt , \qquad dp = -\nabla_q V(q) \, dt$$ Las ecuaciones de Langevin se convierten entonces $$dq = \nabla_p E_{kin}(p)\, dt , \qquad dp = -\nabla_q V(q) \, dt -\gamma \nabla_p E_{kin}(p)\, dt + \sigma dW$$ dónde $\sigma\sigma^T = 2\gamma k_BT$. Entonces, el lado derecho de la ecuación de evolución de posición y el término de fricción en la ecuación de evolución de cantidad de movimiento tienen su dependencia lineal simple de la cantidad de movimiento reemplazada por la expresión apropiada derivada de $E_{kin}$. La expresión de fluctuación-disipación no cambia. he asumido que $\gamma$y $\sigma$son constantes, pero sospecho que las mismas ecuaciones se pueden escribir para funciones dependientes de la posición.

El punto esencial es que debería ser posible convertir la ecuación de Langevin en una ecuación de Fokker-Planck para la función de distribución$\rho(q,p,t)$, y luego mostrar que$\rho_{eq}(q,p)$es una solución estacionaria de esa ecuación. Creo que la forma hamiltoniana de las partes deterministas de las ecuaciones anteriores ayuda a establecer esto, aunque no puedo afirmar haberlo resuelto yo mismo. Supongo que se puede demostrar que el flujo hamiltoniano (en el espacio de fase) junto con el flujo en el espacio de cantidad de movimiento debido a los términos disipativos y estocásticos combinados, dejan invariante la distribución canónica, siempre que$\sigma$viene dada por la expresión FD. La derivación debe ser similar a la que se aplica para una energía cinética cuadrática.

Estoy seguro de que los libros de texto sobre ecuaciones diferenciales estocásticas brindarán más información, pero vi las ecuaciones anteriores en este artículo de Stoltz y Trstanova , que finalmente se publicó en Multiscale Model Simul, 16, 777 (2018) , así como el PhD de Trstanova tesis que se puede encontrar en esta página . El énfasis de esas publicaciones está en la solución numérica de las ecuaciones de Langevin, pero el material de fondo es bastante esclarecedor.