Potenciales delta periódicos

Quiero estudiar un potencial periódico formado por funciones delta espaciadas por L. Para ello quería escribir la simetría del sistema y las leyes de conservación o degeneración que ocurre.

Empecé con un potencial periódico V ( X ) = V ( X + L ) que se extiende sobre todo x. La función de onda debería tener la misma simetría que el potencial, así que tomo un operador de traducción T y digo T ( L ) V ( X ) = V ( X ) = V ( X + L ) = V ( X ) T ( L ) Entonces, V y T(L) conmutan, [ V , T ( L ) ] = 0 .

Los operadores de traslación T(x) para cualquier x se conmutan entre sí, por lo que T(L) debería conmutar con pequeñas traslaciones sucesivas, que finalmente forman el operador de momento. Entonces [ T ( L ) , pag ] = 0 . Entonces [ T ( L ) , pag 2 ] = 0 . la energía cinética es mi k , entonces [ T ( L ) , mi k ] = 0 .

Entonces las identidades del conmutador dan [ T ( L ) , H ] = 0 . Entonces T ( L ) ψ norte = H ψ norte = mi norte ψ norte .

Debido a que las funciones propias de energía también son funciones propias de traslación, puedo establecer condiciones de contorno ψ norte ( X ) = ψ norte ( X + L ) y ψ norte ′ ( X ) = ψ norte ′ ( X + L ) . Luego, por conveniencia, consideraré x entre 0 y L y resolveré el SE como un eq de diferencia de orden estándar de 2:

pag 2 2 metro ψ norte ( X ) + d ( X ) ψ norte ( X ) = mi norte ψ ( X )

Mi pregunta es esta: no creo que obtenga una respuesta como ψ = mi X pag ( − i a X / L ) tu ( X ) , que el teorema de Bloch dice que debo obtener. ¿Por qué es ese el caso? ¿El teorema de Bloch está pensado sólo para, por ejemplo, estados ligados en sólidos? Creo que ese podría ser el problema porque aquí no especifiqué si quería estados ligados o dispersos.

Cualquiera que sea su potencial, debe estar actuando sobre el estado. ψ norte ( X ) en tu última ecuación. ¿Ha intentado hacer esto para un solo delta, luego dos, etc.?
@josephh uh oh, la última ecuación tiene un error. Yo lo arreglare. He hecho delta simple y doble, pero no creo que el delta sea mi confusión aquí. Parece que cualquier potencial con periodicidad L dará el mismo problema.
Bueno, el teorema de Bloch se cumple para cualquier potencial periódico, por lo que olvidando la función delta como dices, la solución se vería así
Ψ ( X ) = tu ( X ) mi i k X
Dices que crees que no obtendrás esta respuesta, pero ¿por qué exactamente?
La última expresión de ψ también debe tener una serie de funciones escalonadas (que provienen de funciones delta) según la cantidad de movimientos periódicos cubiertos en un tiempo determinado
@josephh mi respuesta parecerá arbitraria si toma una V arbitraria (en lugar de funciones delta). Entonces podría dividir mi psi por mi X pag ( i k X ) para obtener esa forma, pero eso será una tontería y pensé que el teorema de Bloch sería más profundo.

Respuestas (2)

Hay un error conceptual al comienzo de sus cálculos. La periodicidad del potencial no requiere la periodicidad de las funciones de onda. En realidad, el teorema de Bloch no dice eso. Dice que el efecto de una transición por L es dejar la misma función de onda dentro de un factor de fase mi i k L . Es una consecuencia matemática del teorema, pero también es comprensible sobre la base de que esperamos la periodicidad de la probabilidad de densidad observable | ψ | 2 , No solo ψ .

Por lo tanto, sus condiciones de contorno deben tener en cuenta estas condiciones de contorno más generales. Eso es lo mismo que decir que los vectores propios de traslación no son 1 pero mi i k L . Los posibles valores de k se puede obtener fácilmente al requerir una periodicidad global de las funciones de onda, sobre todo el cristal de condición de frontera periódica, es decir mi i k norte L = 1 . Todo lo demás es independiente de la elección de una suma de funciones delta en lugar de potenciales continuos.

  1. Usted planteó la siguiente ecuación:

    T ( L ) ψ norte = H ψ norte = mi norte ψ norte .
    Esto no es correcto. El operador de traducción y el hamiltoniano comparten una base propia. Pero el valor propio correspondiente a T ( L ) no es mi norte .

  2. El operador de traducción es unitario. Esto significa que

    ( T ( L ) ) † = ( T ( L ) ) − 1 .
    Esto se demuestra fácilmente considerando la siguiente forma de T ( L ) :
    T ( L ) = mi i L pag ^ / ℏ .
    Por lo tanto, tenemos una restricción notable en los valores propios de los mismos: satisfacen | λ | 2 = 1 para T | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ . Prueba:
    ⟨ ψ | T † T | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ( T † T ) | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ψ ⟩ o = ( ⟨ ψ | T † ) ( T | ψ ⟩ ) = | λ | 2 | ψ ⟩ ⇒ | λ | 2 = 1
    Definimos así la acción del operador de traducción T ( L ) como sigue:
    T ( L ) ψ = mi i α ψ .
    La acción de este operador de traducción sobre una función de onda de la forma prescrita por el teorema de Bloch es una traducción correcta de la función de onda por L . Específicamente, con una función de onda
    ψ = mi i α X / L tu ( X ) ; tu ( X ) = tu ( X + L ) ,
    tenemos
    T ( L ) ψ = mi i α ( X + L ) / L tu ( X + L ) .

  3. Claramente, las siguientes ecuaciones en la pregunta también son incorrectas:

    ψ ( X ) = ψ ( X + L ) ; ψ ′ ( X ) = ψ ′ ( X + L ) .
    Debería haber un factor de fase adicional.

  4. El teorema de Bloch no es "exclusivamente para estados ligados". Las soluciones que predice no son normalizables y se utilizan como base para los paquetes de ondas.

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