Considere la ecuación de Klein-Gordon :
(i) se transforma como la coordenada (4,4) un tensor de rango dos,
(ii) se transforma como el cuarto componente de un vector de cuatro.
¿Podría alguien darme una prueba de estas dos afirmaciones, por favor?
NOTA 1). Todo lo que sé sobre la ecuación de Klein-Gordon es que es invariante bajo transformaciones de Lorentz, es decir si es una solución de la ecuación de Klein-Gordon, entonces la nueva función obtenido reemplazando las ecuaciones de un impulso de Lorentz en es nuevamente una solución de la ecuación de Klein-Gordon.
NOTA 2). Bohm justifica la afirmación (i) considerando la solución particular , por lo que obtenemos
En realidad, el mencionas es el componente 4,4 del tensor de estrés del campo Klein-Gordon (KG). En lo que sigue usaré el tensor métrico e identificar con el componente 0,0 de . Bohm aparentemente usa la otra métrica convención. Además se supone.
Uno comienza mejor a partir de la densidad de Lagrange del complejo KG: (los índices de doble aparición se suman, es decir, la convención de suma de Einstein):
Para un campo complejo y se consideran como variables independientes. La definición del tensor de tensiones viene dada por:
con .
Al insertar la expresión para la densidad de Lagrange del campo KG en la definición del tensor de tensión obtenemos:
La propiedad tensorial de es bastante obvio, ya que las derivadas parciales respectivamente transformarse como vectores covariantes y es también un tensor. Esto es particularmente cierto para el -componente:
El vector de 4 impulsos rendimientos:
dónde es el elemento hipersuperficial vectorial que está parametrizado por valores :
Si ahora la hipersuperficie se elige, como parámetros puede ser usado:
entonces obtenemos para esta hipersuperficie en particular :
Se puede demostrar que considerado en otra hipersuperficie que se transforma en Lorentz con respecto a la hipersuperficie original tiene el mismo valor si se calcula mediante la fórmula más general:
Pero debido a la forma covariante de escribir, está claro que es un vector de 4 (pero esto ya no sería cierto en el espacio-tiempo curvo) y en particular
el componente 0 del vector 4 (el vector de impulso 4), la energía del campo KG.
JG
Mauricio Barbato