Tensores transversales simétricos sin trazos de rango sss y (s,0,0,..,0)(s,0,0,..,0)(s,0,0,..,0) representaciones de SO(n) Hijo, hijo)

Hay una pregunta relacionada physics.stackexchange.com/q/75321 todo se responde en el segundo capítulo de QFT de Weinberg. Desafortunadamente, Weinberg está confinado a 4d, que es especial y él no es matemático, por lo tanto, no hay una palabra de mayor peso allí. Si necesita un tratamiento más general, consulte el documento pedagógico arxiv.org/abs/hep-th/0611263

En pocas palabras, uno tiene que conocer la teoría de la representación del grupo de simetría de un espacio de tiempo dado y luego intentar realizarlas en el espacio de solución de alguna EDP. Aparentemente, PDE debe imponer suficientes condiciones G-invariantes para proyectar en una representación irreducible. Transversal, sin rastro, simétrico y sin olvidar$(\square-m^2)$. De hecho, no necesita ser simétrico, puede ser cualquier tensor irreducible del álgebra de Lorentz (simétrico y sin trazas es solo el tipo más simple de tensor irreducible).

La armonía es necesaria ya que la integral de Fourier muestra claramente que la representación es infinitamente reducible a menos que$(\square-m^2)$es impuesto. Representar$\phi$como$\int dp\, \psi(p) \exp ipx$y realiza transformaciones de Poincaré, verá que los modos con diferentes$p^2$no se mezclen, lo que significa que ϕ(x) es un continuo de representaciones, por eso necesitamos corregir$p^2$al imponer$(\square-m^2)$. Spin es solo el peso más alto del pequeño grupo de Wigner,$so(d−2)$para campos sin masa y$so(d−1)$para masivo.$(s,0,...,0)$se llama spin-s por brevedad (en 4d solo hay un peso). Por ejemplo, el espectro de la teoría de cuerdas está lleno de campos masivos de cualquier espín.$(s1,s2,....)$. La armonicidad corrige el Casimiro cuadrático$P_\mu P^\mu$del álgebra de Poincaré, como queremos una representación irreducible el Casimiro debe ser un número fijo.

La teoría general es la siguiente. Tengamos un buen espacio-tiempo con muchas simetrías, Minkowski$ISO(d-1,1)/SO(d-1,1)$, de Sitter$SO(d,1)/SO(d-1,1)$o anti-de Sitter$SO(d-1,2)/SO(d-1,1)$. Uno entonces está interesado en representaciones unitarias irreducibles del grupo de simetría espacio-temporal. Estas representaciones se caracterizan por unos números, pesos. Nos gustan las representaciones de mayor peso ya que la energía de una partícula debe estar limitada desde abajo (esto no es posible en de Sitter, es por eso que la gente todavía está tratando de entender qué es QFT en de Sitter). La energía más baja está relacionada con la masa de una partícula. El resto de los pesos se conocen como el giro de una partícula. Entonces nos gustaría realizar representaciones como soluciones a ciertas PDE. Este es un problema diferente.

Cuando el espacio-tiempo tiene pocas simetrías o ninguna simetría (solución genérica de las ecuaciones de Einstein), entonces no podemos decir qué es el espín o la masa. Una excepción es cuando el espacio-tiempo tiene suficientes simetrías asintóticas, por ejemplo, es asintóticamente plano. Por ejemplo, sabemos que la gravedad linealizada sobre el espacio de Minkowski describe un campo de espín dos sin masa. Cuando la gravedad se linealiza sobre un fondo genérico, todavía describe dos (en$4d$) propagando grados de libertad, pero no hay simetrías para decir que corresponden a algo con espín dos.

En cuanto a la teoría de cuerdas, simplemente puede buscar en cualquier libro de texto. La gente discute el espectro de excitaciones y encuentra allí un espín dos sin masa, que es un gravitón e infinitos otros campos, en su mayoría masivos. Estos campos masivos se pueden encontrar en cualquier$(s_1,s_2,...,s_3)$de$so(25)$si hablamos de cuerdas bosónicas, que están en$26d$, por lo tanto nos ocupamos de$iso(25,1)$y el pequeño grupo de Wigner para campos masivos es$so(25)$.