¿Por qué no tenemos spin mayor que 2?

Las partículas de mayor espín tienen que acoplarse a corrientes conservadas, y no hay corrientes conservadas de alto espín en las teorías cuánticas de campos. Las únicas corrientes conservadas son las corrientes vectoriales asociadas con simetrías internas, la corriente del tensor de energía de tensión, la corriente del tensor de momento angular y la supercorriente de espín-3/2, para una teoría supersimétrica.

Esta restricción sobre las corrientes restringe los espines a 0,1/2 (que no necesitan estar acoplados a las corrientes), espín 1 (que debe estar acoplado a las corrientes vectoriales), espín 3/2 (que debe estar acoplado a un supercorriente) y espín 2 (que debe estar acoplado al tensor tensión-energía). El argumento es heurístico y no creo que llegue al nivel de una prueba matemática, pero es lo suficientemente plausible como para ser una buena guía.

Preliminares: Todas las simetrías posibles de la matriz S

Debe aceptar el siguiente resultado de O'Raferteigh, Coleman y Mandula: las simetrías continuas de la matriz S de partículas, suponiendo una brecha de masa y una invariancia de Lorentz, son un grupo de mentira de simetrías internas, más el grupo de Lorentz. Este teorema es cierto, dadas sus suposiciones, pero estas suposiciones dejan de lado mucha física interesante:

• Coleman-Mandula asume que la simetría es una simetría de la matriz S, lo que significa que actúa de manera no trivial en algún estado de partícula. Esto parece inocuo, hasta que te das cuenta de que puedes tener una simetría que no toca los estados de las partículas, sino que solo actúa de manera no trivial en objetos como cuerdas y membranas. Tales simetrías solo serían relevantes para la dispersión de objetos de energía infinita infinitamente extendidos, por lo que no aparece en la matriz S. Las transformaciones se volverían triviales cada vez que estas láminas se cerraran sobre sí mismas para formar una partícula localizada. Si observa el argumento de Coleman y Mandula (se presenta una versión simple en las notas de supersimetría de Argyres, lo que da el sabor. Hay una excelente presentación completa en el libro de teoría cuántica de campos de Weinberg, y el artículo original es accesible y claro), casi ruega que los objetos que están cargados bajo la simetría superior se extiendan espacialmente. Cuando ha ampliado los objetos fundamentales, no está claro que ya esté haciendo teoría de campos. Si los objetos extendidos son solitones en una teoría de campo renormalizable, puede acercarse a la dispersión de distancia ultracorta y considerar la teoría de punto fijo ultravioleta como la teoría de campo que está estudiando, y esto es suficiente para comprender la mayoría de los ejemplos. Pero la excepción del objeto extendido es la más importante, y siempre debe mantenerse en el fondo de la mente. puede acercarse a la dispersión de distancia ultracorta y considerar la teoría del punto fijo ultravioleta como la teoría de campo que está estudiando, y esto es suficiente para comprender la mayoría de los ejemplos. Pero la excepción del objeto extendido es la más importante, y siempre debe mantenerse en el fondo de la mente. puede acercarse a la dispersión de distancia ultracorta y considerar la teoría del punto fijo ultravioleta como la teoría de campo que está estudiando, y esto es suficiente para comprender la mayoría de los ejemplos. Pero la excepción del objeto extendido es la más importante, y siempre debe mantenerse en el fondo de la mente.
• Coleman y Mandula asumen una brecha de masa. La extensión estándar de este teorema al caso sin masa simplemente extiende la simetría máxima del grupo de Poincaré al grupo conforme, para permitir que la parte del espacio-tiempo sea más grande. Pero Coleman y Madula usan propiedades de analiticidad que no estoy seguro de que puedan usarse en una teoría conforme con todos los cortes de rama que no están controlados por brechas de masa. El resultado es extremadamente plausible, pero no estoy seguro de que siga siendo rigurosamente cierto. Este es un ejercicio de Weinberg, que desafortunadamente no he hecho.
• Coleman y Mandula ignoran las supersimetrías. Esto lo soluciona Haag-Lopuszanski-Sohnius, quien usa el teorema de la mandula de Coleman para argumentar que la estructura de simetría máxima de una teoría cuántica de campos es un grupo superconforme más simetrías internas, y que la supersimetría debe cerrarse en el tensor de tensión-energía.

Lo que el teorema de Coleman Mandula significa en la práctica es que siempre que tenga una corriente conservada en una teoría cuántica de campos, y esta corriente actúe de manera no trivial sobre las partículas, entonces no debe llevar ningún índice de espacio-tiempo que no sea el índice vectorial, con las únicas excepciones siendo las corrientes geométricas: una corriente de supersimetría de espinor,$J^{\alpha\mu}$, el tensor tensión-energía (simétrico de Belinfante)$T^{\mu\nu}$, el tensor de momento angular (Belinfante)$S^{\mu\nu\lambda} = x^{\mu} T^{\nu\lambda} - x^\nu T^{\mu\lambda}$, y a veces la corriente de dilatación$D^\mu = x^\mu T^\alpha_\alpha$y corrientes conformes y superconformes también.

El espín de las corrientes conservadas se encuentra mediante la teoría de la representación: los índices antisimétricos son de espín 1, ya sea que haya 1 o 2, por lo que el espín de las corrientes de simetría interna es 1 y el del tensor de energía de tensión es 2. El otro geométrico los tensores derivados del tensor de energía de tensión también están restringidos a girar menos de 2, y la supercorriente tiene un giro de 3/2.

¿Qué es un QFT?

Esta es una pregunta práctica --- para esta discusión, una teoría cuántica de campos es una colección finita de campos locales, cada uno correspondiente a una representación del grupo de Poincaré, con una interacción local Lagrangiana que los acopla. Además, se supone que existe un régimen ultravioleta en el que todas las masas son irrelevantes y en el que todos los acoplamientos son todavía relativamente pequeños, por lo que el intercambio perturbador de partículas está bien. Digo pseudolímite, porque este no es un punto fijo ultravioleta real, que podría no existir, y no requiere renormalizabilidad, solo unitaridad en el régimen donde la teoría aún es perturbativa.

Cada partícula debe interactuar con algo para ser parte de la teoría. Si tiene un sector que no interactúa, lo descarta como no observable. La teoría no tiene que ser renormalizable, pero debe ser unitaria, por lo que las amplitudes deben unitarizarse perturbativamente. Se supone que los acoplamientos son débiles en una escala de distancia corta, por lo que no causa un gran lío en distancias cortas, pero aún puede analizar la emisión de partículas orden por orden.

El límite de Froissart para una teoría de la brecha de masa establece que la amplitud de dispersión no puede crecer más rápido que el logaritmo de la energía. Esto significa que cualquier crecimiento más rápido que constante en la amplitud de dispersión debe ser cancelado por algo.

Propagadores para cualquier giro

Los propagadores de partículas masivas/sin masa de cualquier espín se derivan de las consideraciones de la teoría de grupos. Estos propagadores tienen la forma esquemática

$$s^J\over s-m^2$$

Y la escala s de suma importancia, con su dependencia de J, se puede extraer de la dependencia angular físicamente obvia de la amplitud de dispersión. Si intercambia una partícula de espín J con una distancia de propagación corta (de modo que la masa no sea importante) entre dos ondas planas largas (de modo que su momento angular sea cero), espera que la amplitud de dispersión sea como$\cos(\theta)^J$, precisamente porque las rotaciones actúan sobre la helicidad de la partícula intercambiada con este factor.

Por ejemplo, cuando intercambias un electrón entre un electrón y un positrón, formando dos fotones, y el electrón interno tiene un impulso promedio k y una helicidad +, entonces si rotas la contribución a la amplitud de dispersión de este intercambio alrededor del k- eje por un ángulo$\theta$en sentido contrario a las agujas del reloj, debe obtener una fase de$\theta/2$en las fases de fotones salientes.

En términos de variables de Mandelstam, la amplitud angular es como$(1-t)^J$, ya que t es el coseno de la variable de dispersión, hasta alguna escala en s. Para t grande, esto crece como t^J, pero "t" es la "s" de un canal cruzado (hasta un poco de cambio), y al cruzar t y s, se espera que el crecimiento vaya con la potencia. de la dependencia angular. El denominador se fija en$J=0$, y esta ley está determinada por la teoría de Regge.

para que por$J=0,1/2$, los propagadores se encogen con un gran impulso, por$J=1$, las amplitudes de dispersión son constantes en algunas direcciones, y para$J>1$ellos crecen. Esta estructura esquemática es, por supuesto, complicada por los estados de helicidad reales que adjunta en los extremos del propagador, pero la forma esquemática es lo que usa en el argumento de Weinberg.

Giro 0, 1/2 están bien

Ese giro 0 y 1/2 están bien sin un tratamiento especial, y este argumento muestra por qué: el propagador para el giro 0 es

$$1\over k^2 + m^2$$

Que cae en el espacio k en k grande. Esto significa que cuando se dispersa intercambiando escalares, los diagramas de árbol se reducen, por lo que no requieren nuevos estados para hacer que la teoría sea unitaria.

Los espinores tienen un propagador.

$$1\over \gamma\cdot k + m$$

Esto también cae en k grande, pero solo linealmente. El intercambio de espinores no empeora las cosas, porque los bucles de espinores tienden a cancelar la divergencia lineal por simetría en el espacio k, dejando divergencias logarítmicas que son sintomáticas de una teoría renormalizable.

Entonces, los espinores y los escalares pueden interactuar sin revelar la subestructura, porque sus propagadores no requieren cosas nuevas para la unitarización. Esto se refleja en el hecho de que pueden hacer teorías renormalizables por sí mismos.

giro 1

Al presentar el giro 1, obtienes un propagador que no se cae. El propagador masivo para el giro 1 es

$${ g_{\mu\nu} - {k_\mu k_\nu\over m^2} \over k^2 + m^2 }$$

El numerador proyecta la helicidad para que sea perpendicular a k, y el segundo término es problemático. ¡Hay direcciones en el espacio k donde el propagador no se cae en absoluto! Esto significa que cuando se dispersa por el intercambio de espín-1, estas direcciones pueden provocar una explosión en la amplitud de dispersión a altas energías que debe cancelarse de alguna manera.

Si cancelas la divergencia con un espín más alto, obtienes una divergencia allí, y necesitas cancelar eso, y luego un espín más alto, y así sucesivamente, y obtienes infinitos tipos de partículas. Entonces, la suposición es que debes deshacerte de esta divergencia intrínsecamente. La manera de hacer esto es asumir que el$k_\mu k_\nu$término siempre está golpeando una corriente conservada. Entonces su contribución se desvanece.

Esto es lo que sucede en la electrodinámica masiva. En esta situación, el propagador masivo aún está bien para la renormalizabilidad, como lo señalaron Schwinger y Feynman, y lo explicaron Stueckelberg. los$k_\mu k_\nu$siempre está golpeando un$J^\mu$, y en el espacio x, es proporcional a la divergencia de la corriente, que es cero porque la corriente se conserva incluso con un fotón masivo (porque el fotón no está cargado).

El mismo argumento funciona para matar la parte kk del propagador en los campos de Yang-Mills, pero es mucho más complicado, porque el propio campo de Yang-Mills está cargado, por lo que la ley de conservación local suele expresarse de otra forma, etc. etc. La lección heurística es que spin-1 solo está bien si tiene una ley de conservación que cancela la parte que no se encoge del numerador. Esto requiere la teoría de Yang-Mills y el resultado también es compatible con la renormalizabilidad.

Si tiene una partícula de espín-1 que no es un campo de Yang-Mills, deberá revelar una nueva estructura para unitarizar su componente longitudinal, cuyo propagador no se encoge correctamente a altas energías.

Girar 3/2

En este caso, tienes un campo de Rarita Schwinger y el propagador va a crecer como$\sqrt{s}$a grandes energías, solo del argumento de Mandelstam presentado antes.

El crecimiento del propagador conduce a un crecimiento no físico en la dispersión intercambiando esta partícula, a menos que el campo de espín 3/2 esté acoplado a una corriente conservada. La corriente conservada es la corriente de supersimetría, por el teorema de Haag-Lopuszanski-Sohnius, porque es un espinor de corrientes conservadas.

Esto significa que la partícula de espín 3/2 debe interactuar con una supercorriente conservada de espín 3/2 para ser consistente, y el número de gravitinos es (menor o igual que) el número de supercargas.

Los gravitinos siempre se introducen en un supermultiplete con el gravitón, pero no sé si es definitivamente imposible introducirlos con un compañero de spin-1 y acoplarlos a la supercorriente de todos modos. Estos multipletes spin-3/2/spin-1 probablemente no serán renormalizables salvo algún milagro de supersimetría. No lo he resuelto, pero podría ser posible.

giro 2

En este caso, tienes un campo similar al gravitón perturbativo$h_{\mu\nu}$, y el propagador contiene términos que crecen linealmente con s.

Para cancelar el crecimiento en el numerador, necesita que la partícula tensor se acople a una corriente conservada para matar las partes con un crecimiento demasiado rápido y producir una teoría que no requiera nuevas partículas para la unitaridad. La cantidad conservada debe ser un tensor$T_{\mu\nu}$. Ahora se puede apelar al teorema de Coleman Mandula y concluir que la corriente tensorial conservada debe ser el tensor de energía de tensión, y esto da la relatividad general, ya que el tensor de tensión también incluye la tensión del campo h.

Hay una segunda cantidad conservada en el tensor, el tensor de momento angular$S_{\mu\nu\sigma}$, que también es spin-2 (podría verse como su spin 3, pero es antisimétrico en dos de sus índices). Puede intentar acoplar un campo de giro 2 al tensor de momento angular. Para ver si esto funciona requiere un análisis detallado, que no he hecho, pero supongo que el resultado será solo una torsión no dinámica acoplada al giro local, como lo requiere la teoría de Einstein-Cartan.

Witten menciona otra posibilidad más para el giro 2 en el capítulo 1 de Green Schwarz and Witten, pero no recuerdo cuál es y no sé si es viable.

Resumen

Creo que estos argumentos se deben a Weinberg, pero personalmente solo leo el resumen esquemático de los mismos en los primeros capítulos de Green Schwarz y Witten. No me parece que tengan el estatus de un teorema, porque el argumento es partícula por partícula, requiere intercambio independiente en un régimen dado, y descarta la posibilidad de que la unidad pueda ser restituida por alguna familia de partículas.

Por supuesto, en la teoría de cuerdas, hay campos de espín arbitrariamente alto, y la unitaridad se restaura al propagarlos todos juntos. Para las teorías de campo con estados ligados que se encuentran en trayectorias Regge, también puede tener espines arbitrariamente altos, siempre que considere todas las contribuciones de la trayectoria juntas, para restaurar la unitaridad (esta fue una de las motivaciones originales de la teoría Regge --- unitarizar teorías de espín).

Por ejemplo, en QCD, tenemos núcleos de alto espín en el estado fundamental. Así que hay estados de matriz S estables de espín alto, pero vienen en familias con otros estados excitados de los mismos núcleos.

La conclusión aquí es que si tiene partículas de espín más alto, puede estar bastante seguro de que tendrá nuevas partículas de espín aún más alto a energías más altas, y esta cadena de partículas no se detendrá hasta que revele una nueva estructura en algún momento. Entonces, los mesones tensoriales observados en la interacción fuerte significan que debe esperar una familia infinita de partículas que interactúan fuertemente, desapareciendo solo cuando se revela la subestructura del campo cuántico.

Algunos comentarios

James dijo:

• Parece que los campos de espín más altos deben carecer de masa para que tengan una simetría de calibre y, por lo tanto, una corriente para acoplarse.
• Una partícula de spin-2 sin masa solo puede ser un gravitón.

Estas afirmaciones son tan ciertas como convincentes los argumentos anteriores. A partir de la cancelación requerida para que el propagador se vuelva sensible, los campos de espín más altos carecen fundamentalmente de masa a distancias cortas. Los campos de espín 1 se vuelven masivos por el mecanismo de Higgs, los gravitinos de espín 3/2 se vuelven masivos a través de la ruptura espontánea de SUSY, y esto elimina los bosones de Goldstone/Goldstinos.

Pero todo esto es, en el mejor de los casos, solo en el nivel de argumento "ligeramente plausible": el argumento es sobre la unitarización del propagador con cada propagador por separado sin cancelaciones. En realidad, es notable que funcione como una guía, y que no haya una gran cantidad de excepciones supersimétricas de teorías de espín superior con supersimetría que impongan cancelaciones y unitarización del propagador. Tal vez los haya, y simplemente no han sido descubiertos todavía. Tal vez haya una mejor manera de enunciar el argumento que muestra que la unitaridad no se puede restaurar mediante el uso de partículas de peso espectral positivo.

Gran grieta en la década de 1960

James pregunta

• ¿Por qué no se señaló esto antes en la historia de la teoría de cuerdas?

La historia de la física no puede entenderse bien sin apreciar el increíble antagonismo entre el campo de la matriz S de Chew/Mandelstam/Gribov y el campo de la teoría del campo de Weinberg/Glashow/Polyakov. Los dos lados se odiaban, no se contrataban y no se leían, al menos no en el oeste. Las únicas personas que se encontraban en ambos campos eran personas mayores y rusos: Gell-Mann más que Landau (que creía que el polo de Landau implicaba matriz S), Gribov y Migdal más que nadie en el oeste además de Gell-Mann y Wilson. . Wilson hizo su doctorado en teoría de la matriz S, por ejemplo, al igual que David Gross (bajo Chew).

En la década de 1970, la teoría de la matriz S simplemente murió. Todos los practicantes abandonaron el barco rápidamente en 1974, con el triple golpe de la teoría de campo wilsoniana, el descubrimiento del quark Charm y la libertad asintótica. Estos resultados acabaron con la teoría de la matriz S durante treinta años. Los que abandonaron el barco incluyen a todos los teóricos de cuerdas originales que permanecieron empleados: en particular, Veneziano, quien estaba convencido de que la teoría de calibre era correcta cuando t'Hooft demostró que los campos de calibre N grande dan la expansión topológica de cuerdas, y Susskind, que no mencionó Teoría de Regge después de principios de la década de 1970. Todo el mundo dejó de estudiar teoría de cuerdas excepto Scherk y Schwarz, y Schwarz estaba protegido por Gell-Mann, o de lo contrario nunca habría sido titular ni financiado.

Esta lamentable historia significa que ni un solo curso de teoría de la matriz S se enseña en el plan de estudios de hoy, nadie lo estudia excepto unos pocos teóricos de edad avanzada escondidos en aceleradores de partículas, y la principal teoría de la matriz S, la teoría de cuerdas, no es correctamente explicado y sigue siendo completamente enigmático incluso para la mayoría de los físicos. Había algunas buenas razones para esto --- algunas personas de la matriz S dijeron cosas tontas sobre la consistencia de la teoría cuántica de campos --- pero para ser justos, la gente de la teoría cuántica de campos dijo cosas igualmente tontas sobre la teoría de la matriz S.

A Weinberg se le ocurrieron estos argumentos heurísticos en la década de 1960, que lo convencieron de que la teoría de la matriz S era un callejón sin salida, o más bien, para demostrar que era un sinónimo tautológico de la teoría cuántica de campos. Weinberg estaba motivado por los modelos de interacciones pión-nucleón, que era un tema candente de la matriz S a principios de la década de 1960. La solución al problema son los modelos de ruptura de simetría quiral del condensado de piones, y estas son teorías de campo efectivas.

Sobre la base de este resultado, Weinberg se convenció de que la única solución real para la matriz S era una teoría de campo de algunas partículas con espín. Todavía dice esto de vez en cuando, pero está totalmente equivocado . La interpretación más caritativa es que cada matriz S tiene un límite de teoría de campos, donde todas menos un número finito de partículas se desacoplan, pero esto tampoco es cierto (considere la pequeña teoría de cuerdas). La teoría de cuerdas existe, y hay matrices S sin teoría de campos, es decir, todas las de la teoría de cuerdas, incluida la pequeña teoría de cuerdas en (5+1)d, que no es gravitatoria.

Índices de Lorentz

James comenta:

• con respecto al giro, intenté hacer el enfoque teórico de grupo para un tensor antisimétrico, pero me perdí un poco: ¿una forma 2 antisimétrica (por ejemplo) no contiene dos campos de giro 1?

La teoría de grupos para un tensor antisimétrico es simple: consiste en un campo "E" y "B" que se puede convertir en las representaciones quirales puras E+iB, E-iB. A esto también se le llamó "seis vectores", lo que significa que E, B forma un tensor de cuatro antisimétrico.

Puede hacer esto usando índices punteados y sin puntos más fácilmente, si se da cuenta de que la teoría de representación de SU(2) se realiza mejor en índices --- vea el problema de "calentamiento" en esta respuesta: Matemáticamente, ¿qué es la carga de color?

Hay una explicación fabulosa en Schwartz QFT y el modelo estándar, p153.

La ausencia de partículas sin masa con espín > 2 es consecuencia de la poca invariancia de grupo y la conservación de la carga.

Para partículas sin masa, puede tomar el límite suave en los elementos de la matriz de dispersión

La invariancia de Lorentz implica que los números de la matriz deben ser los mismos en diferentes marcos, pero las polarizaciones ciertamente no tienen que ser las mismas.

Schwartz también termina mostrando que las partículas de espín 2 sin masa implican que la gravedad es universal.

Para spin 3 sin masa terminamos con

La suma de una "carga por energía al cuadrado" (para el componente cero de 4 momento) de partículas entrantes es igual a lo mismo que sale.

Esto es algo así como la conservación de la carga, solo que también multiplicamos por la suma de la energía al cuadrado.

Esta condición es demasiado restrictiva para llegar a algún lado a menos que los cargos = 0.

Cabe señalar que existen espín > 2 partículas MASIVAS.

Básicamente para partículas sin masa:

1. Spin 1 => conservación de la carga
2. Spin 2 => la gravedad es universal (las cargas entrantes y salientes son iguales para todas las partículas en la interacción
3. Giro 3 => cargas = 0

Este argumento fue descubierto por Weinberg en los años 60 y es simplemente increíble.