¿Puede un espacio homogéneo ser una variedad con límite?

Dejar$M$ser una variedad suave (una variedad topológica con una estructura suave) dotada de una acción suave transitiva por un grupo de Lie$G$. Poder$M$¿Será una variedad con límite, o necesariamente sin límite?

Trabajo/Confusiones:

En una variedad topológica$M$(posiblemente con límite), cada punto$p \in M$debe tener un vecindario abierto$p \in U$que es homeomorfo a un conjunto abierto en$\mathbb{R}^n$o a un conjunto abierto en$\mathbb{H}^n := \{ (x^1, \dots, x^n) \in \mathbb{R}^n \mid x^n \geq 0 \}$. El conjunto$\partial \mathbb{H}^n := \{ (x^1, \ldots, x^{n-1}, 0) \mid x^1, \dots, x^{n-1} \in \mathbb{R} \}$se llama límite de$\mathbb{H}$.

Si$p\in M$está en el dominio de un gráfico que es un hormeomorfismo a un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$, entonces$p$se dice que es un punto interior, y si es un dominio de un gráfico de límites (un mapa$\phi\colon M\supset U\to \mathbb{R}^n$tal que$\phi(U)$es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$y$\phi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n\neq\emptyset$, dónde$U\subset M$es un subconjunto abierto).

cada punto de$M$es un punto límite o un punto interior, pero no ambos.

$G$como una variedad no puede tener un límite: todo punto es interior. En efecto,$G$es un grupo topológico, y por lo tanto la inversión y las multiplicaciones por$G$en$G$ellos mismos son homeomorfismos de$G$a sí mismo. (leyendo ¿Puede un grupo de Lie ser una variedad con límite? )

Pero si una acción$\phi \colon G\times M \to M$es continua, entonces cada mapa$\phi_g \colon M\to M$es un homeomorfismo de$M$($\phi_g$es solo$\phi_g(x)=gx$).

Ahora,$G$actis en$M$transitivamente. Entonces, si un punto está en el interior, ¿entonces todos los puntos lo están? Pero al menos un punto debe ser un punto interior porque de lo contrario todos los puntos están en el límite y tenemos$n-1$-dimensional (a diferencia de$n$) múltiple? Entonces, ¿cada punto debe ser el interior?

También,$M$se puede identificar con$G/G_p$, dónde$G_p=\{g\in G\mid gp=p \}$con un arbitrario$p\in M$. [JM Lee, variedades suaves, Teorema 21.18 (Teorema de Caracterización del Espacio Homogéneo).]

Pero he oído cuando$G$y$M$son solo espacios topológicos y la acción$G\times M\to M$es continuo,$G/G_p$y$M$no son necesariamente homeomorfos bajo la topología del cociente, por lo que necesitamos más estructura en$G$o$M$?