Definición del tensor de Riemann para torsión no nula

Question

Definición del tensor de Riemann para torsión no nula

raskolnikov

De la definición de tensor de Riemann tenemos:

R (z, v, w) = \nabla_{[v} \nabla_{w]} z - \nabla_{[v, w]} z

$\mathbf{R}\left( \mathbf{z},\mathbf{v},\mathbf{w}\right)=\nabla_{\mathbf{[v}}\nabla_{\mathbf{w}]}\mathbf{z}-\nabla_{[\mathbf{v},\mathbf{w}]}\mathbf{z} \label{riemannnew}$

y calcular las coordenadas de $\mathbf{R}$ en base a coordenadas obtenemos:

R_{b C d}^{a} = \partial_{C} Γ_{b d}^{a} - \partial_{d} Γ_{b C}^{a} + Γ_{m C}^{a} Γ_{b d}^{m} - Γ_{m d}^{a} Γ_{b C}^{m}

$R^a_{\hphantom{a}bcd}=\partial_c\Gamma^a_{\hphantom{a}bd}-\partial_{d}\Gamma^a_{\hphantom{a}bc}+\Gamma^a_{\hphantom{a}\mu c}\Gamma^\mu_{\hphantom{a}bd}-\Gamma^a_{\hphantom{a}\mu d}\Gamma^\mu_{\hphantom{a}bc}$

Encuentro otra forma de calcular el coeficiente del tensor de Riemann sin que desaparezca la torsión:

\begin{matrix} (1) & [\nabla_{C}, \nabla_{d}] V^{a} = 2 \nabla_{[C} \nabla_{d]} V^{a} = 2 \partial_{[C} \nabla_{d]} V^{a} - 2 Γ_{[d C]}^{mi} \nabla_{mi} V^{a} + 2 Γ_{mi [C}^{a} \nabla_{d]} V^{mi} = 2 \partial_{[C} (\partial_{d]} V^{a} + Γ_{| mi | d]}^{a} V^{mi}) + 2 S_{C d}^{mi} \nabla_{mi} V^{a} + 2 Γ_{mi [C}^{a} (\partial_{d]} V^{mi} + Γ_{| b | d]}^{mi} V^{b}) = 2 \partial_{[C} Γ_{| b | d]}^{a} V^{b} - 2 Γ_{mi [C}^{a} \partial_{d]} V^{mi} + 2 S_{C d}^{mi} \nabla_{mi} V^{a} + 2 Γ_{mi [C}^{a} \partial_{d]} V^{mi} + 2 Γ_{mi [C}^{a} Γ_{| b | d]}^{mi} V^{b} = = 2 (\partial_{[C} Γ_{| b | d]}^{a} + Γ_{mi [C}^{a} Γ_{| b | d]}^{mi}) V^{b} + 2 S_{C d}^{mi} \nabla_{mi} V^{a} \end{matrix}

$[\nabla_c,\nabla_d]V^a=2\nabla_{[c}\nabla_{d]}V^a = 2\partial_{[c}\nabla_{d]}V^a-2\Gamma^e_{\hphantom{e}[dc]}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\nabla_{d]}V^e \nonumber \\ = 2\partial_{[c}(\partial_{d]}V^a+\Gamma^a_{\hphantom{a}|e|d]}V^e)+2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}(\partial_{d]}V^e+\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]}V^b) \nonumber \\ = 2 \partial_{[c}\Gamma^a_{\hphantom{a}|b|d]}V^b-2 \Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\partial_{d]}V^e+2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\partial_{d]}V^e+2\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]}V^b= \nonumber \\ =2(\partial_{[c}\Gamma^a_{\hphantom{a}|b|d]}+\Gamma^a_{\hphantom{a}e[c}\Gamma^e_{\hphantom{a}|b|d]})V^b + 2S^e_{\hphantom{a}cd}\nabla_eV^a \tag{1}$

donde el primer paréntesis es el tensor de Riemann-Cartan y el segundo término es la parte debida al tensor de torsión que no desaparece.

Mi pregunta es:

El primer término de la primera definición. $\nabla_{\mathbf{[v}}\nabla_{\mathbf{w}]}\mathbf{z}$ es la segunda ecuación (1) pero solo el primer término de la segunda ecuación es el tensor de Riemann. ¿Como puedó resolver esté problema? ¿La definición del tensor de Riemann es incompleta?

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Definición del tensor de Riemann para torsión no nula

Bence Racskó · Answer 1

En la notación invariante $\nabla_X\nabla_Y$ corresponde a $X^a\nabla_a(Y^b\nabla_b)$ , no $X^a Y^b\nabla_a\nabla_b$ , p.ej. el campo vectorial $Y$ también se diferencia.

podemos definir $\nabla^2_{X,Y}Z=i_Xi_Y\nabla\nabla Z$ , donde aquí $i$ significa "insertar en el último argumento vacío", entonces tenemos

X^{a} \nabla_{a} (Y^{b} \nabla_{b}) Z^{C} = X^{a} \nabla_{a} Y^{b} \nabla_{b} Z^{C} + X^{a} Y^{b} \nabla_{a} \nabla_{b} Z^{C},

$X^a\nabla_a(Y^b\nabla_b)Z^c=X^a\nabla_aY^b\nabla_bZ^c+X^aY^b\nabla_a\nabla_bZ^c,$ entonces

\nabla_{X, Y}^{2} Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{\nabla_{X} Y} Z .

$\nabla^2_{X,Y}Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_{\nabla_XY}Z.$

Esto da entonces

R (X, Y) Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z = \nabla_{X, Y}^{2} Z + \nabla_{\nabla_{X} Y} Z - \nabla_{Y, X}^{2} Z - \nabla_{\nabla_{Y} X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z = \nabla_{X, Y}^{2} Z - \nabla_{Y, X}^{2} Z + \nabla_{\nabla_{X} Y - \nabla_{Y} X - [X, Y]} Z = \nabla_{X, Y}^{2} Z - \nabla_{Y, X}^{2} Z + \nabla_{T (X, Y)} Z .

$R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z=\nabla^2_{X,Y}Z+\nabla_{\nabla_XY}Z-\nabla^2_{Y,X}Z-\nabla_{\nabla_YX}Z-\nabla_{[X,Y]}Z \\ =\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z+\nabla_{\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]}Z=\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z+\nabla_{T(X,Y)}Z.$

Como puedes ver el $[\nabla_a,\nabla_b]X^c=R^c_{\ dab}X^d$ La identidad de Ricci corresponde a $R(X,Y)Z=\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z$ , lo cual es ciertamente cierto en ausencia de torsión.

En presencia de torsión, esto se modifica para

R (X, Y) Z = \nabla_{X, Y}^{2} Z - \nabla_{Y, X}^{2} Z + \nabla_{T (X, Y)} Z,

$R(X,Y)Z=\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z+\nabla_{T(X,Y)}Z,$ pero la definición del tensor de curvatura,

R (X, Y) = \nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y]}

$R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ no depende de la torsión en absoluto.

Ok, puedo ver que de la definición en presencia de torsión obtenemos que el tensor de curvatura es $R (X, Y) Z = \nabla_{X, Y}^{2} Z - \nabla_{Y, X}^{2} Z + \nabla_{T (X, Y)} Z,$ $R(X,Y)Z=\nabla^2_{X,Y}Z-\nabla^2_{Y,X}Z+\nabla_{T(X,Y)}Z,$ pero sólo los dos primeros términos corresponden al tensor de Riemann? ¿El tensor de curvatura y el tensor de Riemann difieren en presencia de torsión?
@raskolnikov No, los tres términos corresponden al tensor de curvatura. La definición más fundamental del tensor de curvatura es $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$ , si escribes esto en términos de la segunda derivada covariante, obtienes la expresión que escribiste en el comentario.
Bien pero $R^a_{\ bcd}$ es igual a qué términos en presencia de torsión?
@raskolnikov $R^a_{bcd}X^b=[\nabla_c,\nabla_d]X^a+T^b_{\ cd}\nabla_bX^a$ .
Lo siento, pero lucho con este problema de nuevo. En tu último comentario dijiste: $R^a_{\ bcd}X^b=[\nabla_c,\nabla_d]X^a+T^b_{\ cd}\nabla_b X^a$ pero esto es incompatible con mi cálculo de $[\nabla_c, \nabla_d]$ Escribí en mi pregunta ya que no puedo eliminar el tensor de torsión. $T^b_{\ cd}$ poniendo mi fórmula en la tuya.

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