¿Qué es el tensor de curvatura de Riemann contraído con el tensor métrico?

¿Se puede obtener el tensor de curvatura de Ricci mediante una 'doble contracción' del tensor de curvatura de Riemann? Por ejemplo

R m v = gramo σ ρ R σ m ρ v .

Respuestas (2)

No estoy seguro de lo que quiere decir con 'doble contracción', pero el tensor de Ricci en coordenadas locales viene dado por

R m v = R     m ρ v ρ ,
que es lo mismo que gramo σ ρ R σ m ρ v , exactamente lo que has escrito.

Sí. La expresión para el tensor de Ricci a menudo se escribe como ( ver aquí )

R m v = R α m α v α ,
pero el lado derecho es precisamente lo que escribiste ya que la métrica simplemente eleva el primer índice.

Vaya, lo siento, no había visto la respuesta de @nervxxx cuando escribí la mía.
Todavía recibes +1 de mí de todos modos. Además, como sabemos que R m v = R v m , ¿sería cierto decir que podemos intercambiar el primer y el tercer índice en el tensor de Riemann, incluso si están todos abajo?
¡Sí! Solo para su información, aquí hay un montón de identidades que son bastante útiles en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
¿Qué es el tensor de curvatura de Riemann contraído con el tensor métrico?
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