Diferencia entre ∂∂\parcial y ∇∇\nabla en relatividad general

¿Son esos corchetes la notación estándar en física?

Sí. Véase, por ejemplo, las notas de Sean Carroll . Al menos puedo decirles de otras dos referencias clásicas que usan esa notación, "Relatividad general" de Wald (1984) y "Una primera introducción a la relatividad general" de Schutz (2009 para la edición más reciente)

Si estoy en un no curvo$\mathbb M$Minkowski$(1, 3)$espacio donde no tengo curvatura (ya que$\eta_{\mu\nu}$es$\mathop{diag}(1, -1, -1, -1)$?), estaba pensando que$\partial_\mu = \nabla_\mu$. Puedo escribir$\nabla_\mu$en lugar de mis derivadas parciales o significan algo diferente?

Puedes usarlos indiferentemente en ese caso . Sin embargo, NO si cambia a coordenadas no cartesianas (por ejemplo, coordenadas esféricas), porque en ese caso los coeficientes de conexión no son cero en general, incluso en ausencia de curvatura , por lo que las derivadas covariantes pueden diferir de las derivadas parciales ordinarias. incluso en espacio plano.

Simplemente evitaría mezclar los símbolos o, en el futuro, le costará un esfuerzo extra deshacer el hábito, cuando aprenda sobre GR y espacios curvos.

Estas son las definiciones:

$\partial_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}$

$\nabla_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}V^{\alpha}$

Los llamados coeficientes de conexión son los$\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}$. Su definición consiste en una determinada combinación de derivadas parciales de los elementos de la métrica. En un espacio plano y coordenadas cartesianas puedes ignorarlas: son cero ya que los elementos de la métrica son todos números constantes,$(1,-1,-1,-1)$. Sin embargo, no significa que sean cero en la Relatividad Especial en general: los elementos diagonales del tensor métrico en coordenadas esféricas, por ejemplo, son funciones de las coordenadas, a saber,$(1, -1, -r^2, -r^2 sin^2 \theta)$aunque el espacio es plano.

Si está interesado en familiarizarse con las derivadas covariantes y los cálculos tensoriales en general, sin invertir demasiado esfuerzo, le sugiero el último capítulo (especialmente los problemas resueltos) del clásico y pequeño libro "Vector Calculus" (MR Spiegel) de la Serie Schaum. Y, para tener una idea del significado geométrico de los coeficientes de conexión, busque en Google "Transporte paralelo". El libro de Schutz mencionado anteriormente también tiene una muy buena explicación.