¿Cuál es el significado físico de la conexión y el tensor de curvatura?

La forma más sencilla de explicar el símbolo de Christoffel es mirarlos en un espacio plano. Normalmente, el laplaciano de un escalar en tres dimensiones planas es:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}$$

Pero, ese no es el caso si cambio de la$(x,y,z)$sistema de coordenadas a coordenadas cilíndricas$(r,\theta,z)$. Ahora, el laplaciano se convierte en:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial \theta^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)$$

Lo más importante a tener en cuenta es el último término anterior: ahora no solo tiene las segundas derivadas de$\phi$, pero ahora también tiene un término que implica una primera derivada de$\phi$. Esto es precisamente lo que hace un símbolo de Christoffel. En general, el operador laplaciano es:

$$\nabla_{a}\nabla^{a}\phi = g^{ab}\partial_{a}\partial_{b}\phi - g^{ab}\Gamma_{ab}{}^{c}\partial_{c}\phi$$

En el caso de las coordenadas cilíndricas, lo que hace el término adicional es codificar el hecho de que el sistema de coordenadas no es homogéneo en el operador derivado: superficies en constante$r$son mucho más grandes lejos del origen que cerca del origen. En el caso de un espacio(tiempo) curvo, lo que hacen los símbolos de Christoffel es explicar las faltas de homogeneidad/curvatura/lo que sea del espacio(tiempo) mismo.

En cuanto a los tensores de curvatura, son contracciones entre sí. El tensor de Riemann es simplemente un anticonmutador de operadores derivados:$R_{abc}{}^{d}\omega_{d} \equiv \nabla_{a}\nabla_{b}\omega_{c} - \nabla_{b}\nabla_{a} \omega_{c}$. Mide cómo difiere la traslación paralela de un vector/forma única si va en la dirección 1 y luego en la dirección 2 o en el orden opuesto. Sin embargo, el tensor de Riemann es difícil de manejar, ya que tiene cuatro índices. Sin embargo, resulta que es antisimétrico en los dos primeros y los dos últimos índices, por lo que, de hecho, solo se puede hacer una única contracción (contracción = multiplicar por el tensor métrico y sumar todos los índices),$g^{ab}R_{acbd}=R_{cd}$, y esto define el tensor de Ricci. El escalar de Ricci es solo una contracción adicional de esto,$R=g^{ab}R_{ab}$.

Ahora, debido a la Relatividad Especial, Einstein ya sabía que la materia tenía que ser representada por un tensor de dos índices que combinara las presiones, corrientes y densidades de la distribución de la materia. Esta distribución de materia, si es físicamente significativa, también debería satisfacer una ecuación de continuidad:$\nabla_{a}T^{ab}=0$, que básicamente dice que la materia no se crea ni se destruye en la distribución, y que la tasa de cambio en el tiempo en una corriente es el gradiente de presión. Cuando Einstein estaba escribiendo sus ecuaciones de campo, quería que se creara una cantidad a partir del tensor métrico que también satisficiera esto (llámese$G^{ab}$) para igualar a$T^{ab}$. Pero esto significa que$\nabla_{a}G^{ab} =0$. Resulta que solo existe una combinación de términos que involucra la primera y la segunda derivada del tensor métrico:$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} + \Lambda g_{ab}$, dónde$\Lambda$es una constante arbitraria. Entonces, esto es lo que eligió Einstein para su ecuación de campo.

Ahora,$R_{ab}$tiene el mismo número de índices que el tensor tensión-energía. Entonces, una forma ondulada de ver lo que$R_{ab}$significa es decir que te dice la "parte de la curvatura" que se deriva de la presencia de materia. ¿Dónde deja esto a los componentes restantes de$R_{abc}{}^{d}$en la que$R_{ab}$¿no depende? Bueno, la forma más simple (no COMPLETAMENTE correcta, pero la más simple) es llamar a estas partes de la curvatura derivadas de la dinámica del propio campo gravitacional: un espacio-tiempo vacío que contenga solo radiación gravitacional, por ejemplo, satisfará$R_{ab}=0$pero también tendrá$R_{abc}{}^{d}\neq 0$. Lo mismo para un espacio-tiempo que contiene solo un agujero negro. Estos componentes adicionales de$R_{abc}{}^{d}$darle la información sobre la dinámica gravitacional del espacio-tiempo, independientemente de la materia que contenga el espacio-tiempo.

Esto se está haciendo largo, así que dejaré esto así.

La conexión tiene un significado físico --- es el campo gravitatorio. La métrica es el potencial gravitacional.

El hecho de que los símbolos de Christoffel no sean tensores no cambia el hecho de que sean significativos. Se pueden hacer que desaparezcan en cualquier punto mediante una transformación de coordenadas, pero en GR, esto solo quiere decir que puede hacer que el campo gravitatorio desaparezca eligiendo un marco de coordenadas en caída libre. Esa es una declaración física sobre el campo gravitatorio.

La ley de transformación de los símbolos de Christoffel está bien definida, y una forma de pensar en el concepto matemático de la conexión abstracta es identificar dos descripciones de símbolos diferentes cuando solo difieren en la transformación de coordenadas. La conexión abstracta no tiene un valor en un punto, pero tiene valores de holonomía en los bucles.

No hay observables invariantes de calibre local en una teoría generalmente covariante, por lo que tiene que arreglárselas con la transformación de coordenadas como el tensor métrico y la conexión.

Tenga en cuenta que no hay un significado físico de los símbolos de Christoffel, ya que no son tensores. Siempre es posible elegir coordenadas locales de modo que todos$\Gamma$desaparecer.

Pero su significado matemático es que forman un pseudotensor. Técnicamente, si tenemos dos derivadas covariantes$\nabla_1$y$\nabla_2$entonces su diferencia$\Gamma := \nabla_1 - \nabla_2$satisface algunas buenas propiedades matemáticas (a saber, que es un operador ultralocal) y, por lo tanto, su acción sobre cualquier objeto es simplemente local y puede representarse mediante un tensor.

Para$\nabla_1$generalmente tomamos la derivada covariante que nos interesa (por ejemplo, una derivada covariante métrica con torsión nula inducida por algún tensor métrico$g$). Para$\nabla_2$hay dos opciones generales (y ampliamente utilizadas). Uno puede usar la derivada covariante coordinada$\partial$(que aniquila el vector de coordenadas${\partial \over \partial x}$y campos de covectores${\rm d} x$y esto da la expresión habitual$\nabla = \partial + \Gamma_{Christoffel}$. La otra opción (que generaliza la anterior) es una derivada covariante$\bar \partial$que aniquila alguna tétrada$e$(en el caso anterior teníamos la tétrada${\rm d} x$que es muy específico; para tétrada general no es necesario que existan coordenadas asociadas). Esto lleva al formalismo de la tétrada y uno escribe$\nabla = \bar \partial + \gamma$dónde$\gamma$son coeficientes de rotación de Ricci.

En cuanto al tensor de Riemann, es una vez más una representación tensorial de un operador ultralocal, a saber, el operador de curvatura$R(u, v)$. Esta es una caja negra que toma dos campos vectoriales (pensados ​​como una dirección) y devuelve un operador ultralocal que te dice cuánto se curva el espacio a lo largo de esas direcciones. Más precisamente, te dice qué sucede con un vector si lo transportas en paralelo a lo largo del polígono infinitesimal$0 \to u \to u+v \to v \to [u,v] \to 0$; se puede considerar como un cuadrado excepto que los dos campos no necesitan cerrarse y esto se mide por su conmutador$[u, v]$. Entonces puedes expresarlo como$R(e_a, e_b) e_c = {R_{abc}}^d e_d$y obtendrás el tensor de Riemann habitual.

Ahora, debido a la (a)simetría del tensor de Riemann, son posibles dos contracciones no equivalentes. Uno de ellos es el rastro.${R_{abc}}^c$y esto puede verse trivialmente como cero para el tensor de Riemann derivado de la conexión Levi-Civita (más generalmente para conexiones que conservan elementos de volumen). La otra contracción,${R_{abc}}^a$da el tensor de Ricci. Este será simétrico para la conexión Levi-Civita (porque la traza del tensor de Riemann es cero y porque la torsión se anula).

Una vista útil (aunque bastante matemática) del tensor de Ricci es como un "laplaciano de la métrica",$R_{ij} \sim -{1 \over 2}\Delta g_{ij}$y por analogía con los flujos de calor esto relaciona los flujos de Ricci que son una herramienta básica utilizada en el estudio de la conjetura de Poincaré.

Ahora bien, el significado geométrico del tensor de Ricci es que mide la deformación del elemento de volumen en coordenadas geodésicas normales. Son coordenadas que puedes obtener alrededor de cualquier punto si parametrizas la vecindad por flujos geodésicos. Entonces, el tensor de Ricci mide cómo las geodésicas tienden a volverse más densas o más dispersas alrededor de un punto en una dirección determinada. Piensa en cómo una esfera con curvatura positiva tiene menos volumen porque sus geodésicas convergen (son los grandes círculos de la esfera) que un espacio hiperbólico con curvatura negativa donde las geodésicas divergen (hay infinitas líneas rectas paralelas a una línea dada). En particular, las variedades planas de Ricci (que son las soluciones de las ecuaciones del vacío de Einstein con constante cosmológica cero) se comportan en este sentido como el espacio euclidiano habitual.

Hay mucho más que decir sobre estos temas, pero espero que esto sea útil al menos un poco para usted.

En cuanto al 'significado físico' de los símbolos de Christoffel, hay un sentido en el que no tienen un significado físico, porque la información que codifican no es realmente información sobre la curvatura del espacio sino sobre la geometría del sistema de coordenadas. re usando para describir el espacio.

En cuanto a una intuición sobre ellos, codifican cuánto cambian los campos vectoriales básicos para cambios infinitesimales en las coordenadas que se utilizan. Esta es la razón por la que en un espacio plano (es decir, localmente) siempre es posible convertirlos en cero: transformar a un sistema de coordenadas en el que los campos vectoriales base no cambien de un punto a otro.

Para saber cómo se curva el espacio-tiempo, puedes observar cómo cambia la función métrica de un punto a otro. Para ver esto, puede ver cómo cambian los vectores base de un punto a otro (ya que la métrica está completamente determinada por los vectores base). Esta es la información que codifica el símbolo de Christoffel.