Tensor de tensión: ¿covariante o contravariante?

El tensor de tensión en la mecánica de medios continuos (es decir, el negativo de la parte espacio-espacial del tensor de energía de tensión en la relatividad 1 ) toma la forma:

(1) σ i j = − pag d i j + η ( ∂ v i ∂ X j + ∂ v j ∂ X i ) .
Como sugiere el nombre, este es un tensor, pero no tengo claro qué tipo de tensor y parece que no puedo encontrar un recurso que me diga y supongo que (1) no está escrito en notación de tensor (es decir, posición de índice correcta ). Por lo tanto, mi pregunta es esta: ¿cómo escribimos el tensor de estrés (1) en notación de tensor real?

1 Tensor tensión-energía: ¿su relación con la fuerza?

solo sube los índices en X j , X i y estás listo para irte
@AccidentalFourierTransform ¿estás seguro? me preocupa que desde d i j no es necesariamente 1 cuando i = j esto arruinará las cosas
¿qué? como puedo d i j No ser 1 cuando i = j ? Que hace d i j significa para ti?
Lo que busca es un tensor contravariante (índices superiores) y tiene los elementos, en lugar del tensor completo, en su publicación.
@AccidentalFourierTransform Vea esto physicspages.com/2012/12/31/kronecker-delta-as-a-tensor
Lo más probable es que la razón por la que no pueda encontrar la respuesta sea porque a los ingenieros que realmente usan este material no les importa etiquetar las cosas como covariantes o contravariantes; lo que importa es hacer las operaciones correctas en las cantidades, no darles nombres impresionantes. ¡La única forma en que escribiría tu ecuación (1) es exactamente como la escribiste!
@Quantumspaghettification esa es una notación terrible. No es lo que la gente suele querer decir cuando escribe d i j .

Respuestas (2)

  1. Parece que OP esencialmente quiere considerar un fluido newtoniano incompresible en una variedad Riemanniana de 3 ( METRO , gramo ) (a diferencia de, digamos, un fluido relativista perfecto ).

  2. A continuación, debemos escribir las coordenadas locales X i con un índice superior (en oposición a uno inferior), como sugiere el usuario AccidentalFourierTransform en un comentario anterior.

  3. El delta de Kronecker debe ser reemplazado por el tensor métrico, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

  4. Derivadas parciales ∂ i debe reemplazarse con ( Levi-Civita ) derivados covariantes ∇ i . Este punto 4 y el punto 3 anterior también fueron sugeridos en la respuesta por el usuario Chester Miller.

  5. Usa el isomorfismo musical para subir y bajar índices v i = gramo i j v j en el campo de velocidad incompresible, d i v ( v ) = ∇ i v i = 0 .

  6. Entonces ambos lados de la ecuación de OP. (1) se convierte en un tensor covariante simétrico (0,2)

    (1') σ i j   =   − pag gramo i j + η ( ∇ i v j + ∇ j v i ) , pag   =   − 1 3 gramo i j σ i j .

La ecuación que proporcionó se expresa en términos de coordenadas cartesianas, donde no existe la distinción entre componentes covariantes y contravariantes. Si desea expresar esta ecuación constitutiva de fluido newtoniano en términos de notación tensorial "real", las derivadas parciales del lado derecho deben reemplazarse por derivadas covariantes, y el delta de Kronecker debe reemplazarse por la representación indexada apropiadamente de la tensor métrico.

Sí, esto es realmente correcto. +1 [como un pequeño detalle, se puede notar que, en coordenadas cartesianas, algunas personas establecerán X i = − X i , por lo que la distinción podría ser relevante, dependiendo de las convenciones]
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