Tensor tensión-energía-momento

asumo de ahora en adelante$c=1$. Considere un volumen de 3$\Delta \Sigma_0$en reposo con el polvo. Para el resto observador (esta es su definición)$u^\mu$tiene sólo (unidad) componente temporal.
La energía (es decir, la masa) asociada con esa porción del sistema es$\Delta \Sigma_0 \rho_0$. Por lo tanto, el 4-momento de esa porción es$\Delta p^\mu := \Delta \Sigma_0 \rho_0 u^\mu$.

Ahora considere otro observador con cuatro velocidades$v^\mu$. La energía de esa porción del sistema es el componente temporal de$\Delta p^\mu$calculado en su marco de referencia. En otras palabras es:

$$\Delta p^\mu v_\mu = \rho_0 \Delta \Sigma_0 u^\mu v_\mu$$ Sin embargo, estamos interesados ​​en la densidad de energía calculada en ese marco de referencia. Se define como: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0\frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu\:.$$ $\Delta \Sigma$es el volumen, medido en el marco de referencia considerado , de la porción de polvo definida por $\Delta \Sigma_0$ en reposo con el polvo. Como es bien sabido si un cuerpo sólido tiene un volumen $\Delta \Sigma_0$en su marco de reposo, tiene volumen $$\Delta \Sigma = \Delta \Sigma_0\sqrt{1-v^2}$$ en un marco de referencia donde se ve que tiene una velocidad $v$. La relación anterior se puede reescribir $$\Delta \Sigma_0 = \Delta \Sigma u^\nu v_\nu$$ dónde $u^\nu$es el $4$-velocidad del cuerpo y ahora $v^\nu$el $4$-velocidad del otro marco de referencia. Volviendo a nuestro sistema de polvo con campo de $4$-velocidad $u^\nu$, podemos concluir que la densidad de energía para un observador genérico con $4$-velocidad $v^\nu$es, como se afirma correctamente en el libro de Wald: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0 \frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu = \rho_0 u^\nu v_\nu u^\mu v_\mu = T^{\mu\nu} v_\mu v_\nu\:.$$

Podemos evaluarlo desde el marco de reposo del observador. Entonces$v^\mu = (1, 0, 0, 0)$y$u_\mu = (\gamma , -\gamma\mathbf v)$dónde$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$y$\mathbf v$es la velocidad relativa. (Nosotros ponemos$c = 1$.) Entonces

$$T_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = \rho_0 \gamma^2.$$ Sin embargo, $\rho_0$es la densidad en el marco de reposo del fluido. En el marco de reposo del observador, la densidad es $\rho = \rho_0\gamma$debido a la contracción de la longitud! Entonces la densidad de energía según nuestro observador es $$E = \rho\gamma = \frac{\rho}{\sqrt{1-v^2}} = \rho + \frac{\rho v^2}{2} + O(v^4).$$

Por cierto, creo que todos podrían beneficiarse de leer sobre el tensor de energía de tensión en Misner, Thorne y Wheeler, Capítulo 5.