¿Cómo puede un gas soportar esfuerzos de tracción?

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¿Cómo puede un gas soportar esfuerzos de tracción?

Física
presión
viscosidad
navier-stokes
dinámica de fluidos
cálculo tensorial

bryson s

Al trabajar con una derivación rigurosa de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes, encuentro que el flujo de cantidad de movimiento en la dirección X debe ser impulsado no solo por el gradiente de presión normal $\frac{\partial p}{\partial x}$ y términos de esfuerzo cortante $\frac{\partial(\tau_{yx})}{\partial x}$ y $\frac{\partial(\tau_{zx})}{\partial x}$ , sino también por el gradiente de la tensión normal $\frac{\partial(\tau_{xx})}{\partial x}$ . Es intuitivamente claro para mí cómo las láminas adyacentes que se mueven a diferentes velocidades pueden transferir impulso a través de su interfaz, por lo que los términos de esfuerzo cortante en la ecuación de impulso son fácilmente inteligibles. El término tensión normal, por otro lado, es mucho menos intuitivo porque no puedo ver cómo un fluido que se deforma libremente puede soportar tensiones de tracción. Las tensiones normales positivas (es decir, la compresión) no son tan difíciles de entender, pero está resultando extremadamente difícil imaginar completamente un elemento de un fluido "tirando" de un elemento adyacente de una manera incluso remotamente análoga al comportamiento de un sólido en las mismas condiciones. . Tampoco tengo clara la diferencia entre "presión" y "estrés normal" en el fluido. ¿En qué se diferencian exactamente estos términos? Me interesan principalmente los gases, no los líquidos.

Juan Alexiou

Un fluido solo puede soportar el módulo de volumen

d V = - k V d PAG

${\rm d}V = -K V {\rm d} P$

bryson s

Si el término de tensión normal se relaciona en última instancia con el módulo de volumen y la deformación volumétrica, ¿puede darnos una idea física de cómo se manifiesta esto realmente?

Juan Alexiou

Supongo que si aplicas presiones iguales en todos los lados de un cubo, solo habrá un cambio en el volumen y no en la forma. No habrá "flujo", solo una escala general.

phil escarcha

¿Es esto algo más que el concepto cotidiano de succión?

bryson s

@Phil Frost Suction son solo diferencias relativas en la presión. De lo que estoy hablando equivale efectivamente a presión negativa (tensión).

tpg2114

@BrysonS. ¿Quién dice que un gas puede soportar una presión negativa? Puede soportar fuerzas que reduzcan la presión, pero nunca a 0.

bryson s

Esta es exactamente mi pregunta, ¿estamos seguros de que un gas no puede soportar la tensión de tracción?

Respuestas (2)

¿Cómo puede un gas soportar esfuerzos de tracción?

Un fluido solo puede soportar el módulo de volumen $d V = - k V d PAG$ ${\rm d}V = -K V {\rm d} P$
Si el término de tensión normal se relaciona en última instancia con el módulo de volumen y la deformación volumétrica, ¿puede darnos una idea física de cómo se manifiesta esto realmente?
Supongo que si aplicas presiones iguales en todos los lados de un cubo, solo habrá un cambio en el volumen y no en la forma. No habrá "flujo", solo una escala general.
@Phil Frost Suction son solo diferencias relativas en la presión. De lo que estoy hablando equivale efectivamente a presión negativa (tensión).
@BrysonS. ¿Quién dice que un gas puede soportar una presión negativa? Puede soportar fuerzas que reduzcan la presión, pero nunca a 0.
Esta es exactamente mi pregunta, ¿estamos seguros de que un gas no puede soportar la tensión de tracción?

usuario_de_las_matemáticas · Answer 1

Tomemos su última pregunta primero. Sea el tensor de tensión en un punto (x,y,z) en el fluido como $\sigma$ . Puede elegir una base cartesiana $\{ e_1, e_2, e_3 \}$ y expresar los componentes del tensor en esa base

[\begin{matrix} σ_{X X} & σ_{X y} & σ_{X z} \\ σ_{X y} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{X z} & σ_{y z} & σ_{z z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

Los esfuerzos normales son simplemente $\sigma_{xx},\sigma_{yy}$ y $\sigma_{zz}$ . Es importante darse cuenta de que estas tensiones tendrán valores diferentes en otra base.

Claramente, no se puede atribuir demasiada importancia física a las cosas que dependen de la base. Sin embargo, es un teorema de la mecánica continua que SIEMPRE puede encontrar al menos una base en la que los términos fuera de la diagonal (términos de corte) sean cero. En esta base, los componentes del tensor son

[\begin{matrix} σ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{3} \end{bmatrix}$

Estos números tienen un significado físico real. $\max({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ es la tensión normal principal más grande en el punto. Similarmente, $\min({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ es la tensión normal más pequeña en ese punto. No es muy difícil darse cuenta de que $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ son los valores propios del tensor de tensión.

Por otro lado, la presión es (-1/3) veces la traza del tensor de tensión, es decir

pag = - \frac{1}{3} σ_{j j}

$p = -\frac{1}{3} \sigma_{jj}$

La traza es una invariante del tensor de tensión, por lo que si toma la suma de las diagonales del tensor de tensión en cualquier base, obtendrá el mismo valor. Matemáticamente,

T r ([β] [σ_{i j}] [β]^{T}) = T r (σ_{i j})

$Tr([\beta][\sigma_{ij}][\beta]^T) = Tr(\sigma_{ij})$ Entonces ves que la presión y el estrés normal son entidades muy diferentes. En particular, la presión es ISOTROPICA, no tiene una dirección preferida.

Ahora considere un estado de corte puro en un fluido. Para simplificar las cosas, asumiremos un flujo plano e ignoraremos los componentes fuera del plano.

El tensor de tensión para cortante puro en nuestra base estándar se ve así

[\begin{matrix} 0 & τ \\ τ & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 0 & \tau \\ \tau & 0 \\ \end{bmatrix}$

Parece que las tensiones normales son cero, ¿verdad? No tan rapido. Como este es un tensor real simétrico, ¡SIEMPRE puede encontrar otra base en la que tenga componentes de tensión normales!

De hecho, si resuelve el problema de valor propio estableciendo $\det (\sigma-\lambda I )=0$ , se obtienen las tensiones normales principales de $\pm \tau$ .

Entonces, en un sistema de coordenadas con vectores base $e'_1 = \{ (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ y $e'_2 = \{ (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ en vez de $\{(1,0), (0,1)\}$ , se obtiene un tensor de tensión de una situación de cizallamiento "puro" que se ve así

[\begin{matrix} τ & 0 \\ 0 & - τ \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \tau & 0 \\ 0 & -\tau \\ \end{bmatrix}$

Puede comprobarlo fácilmente realizando usted mismo el cambio de base.

Entonces, lo que parece "corte puro" en una base son tensiones normales biaxiales en otra base. Dado que los signos son diferentes, tiene tensiones normales tanto de tracción como de compresión en su fluido.

Gracias, dmckee por fusionar las dos respuestas, no sabía cómo hacerlo yo mismo.
Un último comentario para terminar mi respuesta: puede existir un componente de tensión normal de tracción, pero eso no implica presión de tracción. Necesitaría un mecanismo cohesivo para desarrollar presión hidrostática de tracción y un gas no tiene tal mecanismo (los gases tienen fuerzas débiles de tipo London, pero son de muy corto alcance). Además, la advertencia adicional es que asumimos que el fluido está bien descrito como un continuo. Eso no siempre es cierto, especialmente para los gases enrarecidos.
Esto es genial, pero ¿estás diciendo que la presencia de tensión normal de tracción es simplemente ilusoria? O más concretamente, ¿puede un fluido (específicamente un gas) soportar fuerzas de tracción? ¿Cómo?

ajmeteli · Answer 2

Parece que la pregunta se reduce (al menos en parte) a lo siguiente: ¿puede un fluido tener una presión ABSOLUTA negativa? Esta cuestión ha sido discutida aquí varias veces. Mi opinión es: puede (aunque tal estado probablemente sea metaestable en el mejor de los casos), porque la fuerza entre dos moléculas puede ser atractiva. Véase, por ejemplo, http://www.youtube.com/watch?v=BickMFHAZR0 , donde analizan cómo los árboles de más de 10 m de altura pueden llevar agua a su parte superior. Sin embargo, no sé si un gas, en lugar de un líquido, puede tener presión negativa. Sin embargo, en cosmología, se considera el llamado gas Chaplygin.

¿Existe algún mecanismo conocido por el cual esta presión negativa pueda ser soportada en un gas?
@Bryson S .: No estoy seguro de si la presión negativa es posible para los gases, pero si lo es, el mecanismo debería ser el mismo: atracción molecular.
Pero, ¿no están los átomos/moléculas demasiado espaciados para que estas fuerzas tengan algún efecto perceptible?
@Bryson S .: No existe tal cosa como "demasiado lejos" en física, solo existe "demasiado lejos en comparación con algo". En este caso, supongo que debería comparar la energía potencial de atracción con la energía cinética. Nuevamente, no es obvio que la presión absoluta negativa sea posible en los gases, no es obvio que sea imposible.

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