Tensor de energía de estrés y la derivada covariante del 4-momentum

Definitivamente está en el camino correcto, pero la relación que está buscando dependerá de la forma en que desee modelar su asunto. El polvo y la radiación son los dos modelos que mejor funcionan y son casi equivalentes en las respuestas que producen. Por supuesto, la definición general de$T_{\mu\nu}$es “el flujo de cuatro impulsos$p_{\mu}$sobre una superficie de constante$x_{\nu}$”. Dado que una nube de polvo es una colección de partículas en movimiento con una velocidad algo fija en el marco de referencia inercial, podemos calcular el flujo (de partículas) con la velocidad y el número de partículas definiendo las cuatro velocidades,$U_{\nu}$, y la densidad numérica de las partículas$n$. Por esto, podemos determinar el (cuatro) flujo como$N_{\nu} = nU_{\nu}$. No olvides que desde nuestro$0^{th}$índice siempre está lleno de diversión, el$N_{0}$componente es la densidad numérica de las partículas, y los índices distintos de cero corresponden al flujo en la dirección del índice con el que estés tratando.

¡Ya casi llegamos, lo prometo! A partir de eso, defina su densidad de energía en términos de lo que tenemos, que es solo la densidad del número de partículas,$n$, y la masa de la partícula para dar nuestro$T_{00}$término densidad de energía término:$\rho = nm$. Normalmente, sería$nmc^{2}$, pero tomamos unidades tales que$c = 1$. El término de índice cero de los cuatro impulsos usando estas unidades llega a$\frac {E} {c^{2}}$que debes notar que es$m$.

Ahora tenemos todos los constituyentes para crear todo el tensor de tensión-energía, tenemos un componente para él, y la relación entre nuestros cuatro impulsos y el flujo que nos trajo ese primer componente. El resto se puede generalizar de la siguiente manera:

Tomando el tensor mixto tensión-energía y$T^{i}_{j} = \nabla_{j}p^{i}$, la conexión$\nabla_{j}$actuando sobre un vector$p^{i}$, reduce a$\frac {\partial p^{i}}{\partial x_{j}}$. Hasta donde yo sé, eso no tiene ningún significado físico real.

Sin embargo, en general, la ecuación anterior es la que probablemente querrá usar. Introduciendo el$\nabla_{j}$apunta a tomar derivadas covariantes de tensores, lo que requiere un término adicional en la respuesta de la diferenciación parcial regular llamada (lo adivinaste) la conexión afín, pero cuando haces$\nabla_{j}T^{ik} = 0$o equivalente$T^{ik}_{\:\:\:;j} = 0$¡tenemos conservación de energía y cantidad de movimiento!

Todo esto fue referenciado directamente de estas notas de la lección (particularmente la lección 1), si parezco confuso o poco claro. El autor hace un trabajo mucho mejor que yo.