Derivación de la ecuación relativista de conservación de energía para un fluido perfecto

1- tu "suposición" sobre la covarianza de las derivadas de p es correcta. Sin embargo, esto es solo lo básico del cálculo tensorial, no una suposición especial.

2-Proyectar un vector/tensor en diferentes direcciones es una práctica muy utilizada en matemáticas y física. Por ejemplo, probablemente encontró esto primero cuando descompuso la fuerza gravitacional en un bloque en un plano inclinado en Física 101. Aquí usa un vector$U_{\nu}$y un proyector en un plano ortogonal para$U$.

3- Estás olvidando la primera parte de RHS de eq. 1.116. Proceda paso a paso.

Multipliquemos la RHS de 1.116 por$U_{\nu}$

$U_{\nu} RHS = U_{\nu}U^\mu U^\nu \partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(U_{\nu}U^\nu \partial_\mu U^\mu + U_{\nu}U^\mu \partial_\mu U^\nu ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Usando$U_{\nu} U^\nu =-1$

$-U^\mu\partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(-\partial_\mu U^\mu + U_{\nu}U^\mu \partial_\mu U^\nu ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Ahora recuerda eso$U_{\nu} \partial_\mu U^\nu =0$(Ec. 1.117 en Carrol) como consecuencia de la constancia de$U_{\nu} U^\nu =-1$. Entonces simplificamos aún más

$-U^\mu\partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(-\partial_\mu U^\mu + 0 ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Expandir corchetes redondos

$-U^\mu\partial_\mu \rho -U^\mu\partial_\mu p - \rho\partial_\mu U^\mu-p\partial_\mu U^\mu + U_{\nu}\partial^\nu p$

Ahora, el segundo término$-U^\mu\partial_\mu p$se puede reescribir como$-U^\nu\partial_\nu p$ya que los mu son ficticios, y también puede subir/bajar los índices para obtener$U_{\nu}\partial^\nu p$y cancelarlo con el último término. Entonces obtienes

$-U^\mu\partial_\mu \rho - \rho\partial_\mu U^\mu-p\partial_\mu U^\mu$

Ahora combine los primeros 2 términos (regla anti-Leibnitz) y obtenga el RHS de Eq. 1.118 en Carrol

$- \partial_\mu( \rho U^\mu)-p\partial_\mu U^\mu$

Sugiero si eres nuevo en GR y tensores:

1- ponte en forma haciendo "gimnasia indexada"

2- echa un vistazo a otros libros (mi favorito es Gravitation, también conocido como MTW)

3- obtenga acceso/compre, use y aprenda Wolfram Mathematica (versiones para el hogar o para estudiantes) tal vez a través de su universidad. Luego puede obtener un paquete gratuito llamado xAct y su GUI gratuita llamada xPrint (que escribí). Entonces... harás todo esto y mucho más en un instante. Mathematica es una herramienta física esencial en mi opinión.