Tensor de energía de estrés de un fluido perfecto y cuatro velocidades

Question

Tensor de energía de estrés de un fluido perfecto y cuatro velocidades

Física
dinámica de fluidos
cálculo tensorial
relatividad general
tensión-energía-momentum-tensor

Vicente

En la siguiente demostración, hay un error, pero no puedo encontrar dónde. (Pongo explícitamente el $c^2$ para realizar un seguimiento de las unidades).

Consideramos una métrica $g_{\mu\nu}$ con una firma $(-, +, +, +)$ :

$\boxed{g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} \qquad\qquad \boxed{ g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{c^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

El tensor de un fluido perfecto es: $\boxed { \begin{aligned} T^{\mu\nu} &= \left(\rho c^2+P\right)u^{\mu}u^{\nu}+Pg^{\mu\nu}\\ T_{\nu}^{\mu} &= \left(\rho c^2+P\right)u^{\mu}u_{\nu}+P\delta_{\nu}^{\mu}\\ T_{\mu\nu} &= \left(\rho c^2+P\right)u_{\mu}u_{\nu}+Pg_{\mu\nu} \end{aligned} }$ dónde $\rho$ es la densidad de masa.

Fácilmente podemos comprobar que $\rho c^2$ y $P$ tener la misma unidad.

Si consideramos sólo el primer componente $00$ , no hay presión $P$ involucrados (considero un caso cosmológico donde el fluido está en reposo en coordenadas comóviles). La única solución para tener eso es que $u^0u^0=-g^{00}$ , de modo que el tensor fluido perfecto contravariante se convierte en: $T^{00} = \left(\rho c^2+P\right)u^{0}u^{0}+Pg^{00}=\left(\rho c^2+P\right)\times{-g^{00}}+Pg^{00}=-\rho c^2 g^{00} = -\rho c^2 \times -\frac{1}{c^2}=\rho$ cual es el resultado esperado. Entonces, para tener el resultado esperado, uno debe tener $\boxed{\left(u^0\right)^2=+\frac{1}{c^2}}$ .

Ahora viene la parte rara.

La métrica se puede escribir: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=dt^2\left(-c^2+\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}+\frac{dz^2}{dt^2}\right)\approx-c^2dt^2$ que es equivalente a:

$\frac{dt^2}{ds^2}\approx-\frac{1}{c^2}$

lo que significa : $\boxed{\left(u^0\right)^2=-\frac{1}{c^2}}$

Así que claramente tenemos un problema de signo aquí entre las dos expresiones de $u^0$ .

PREGUNTA: donde esta el error?

chico hidro

u^{0} = γ c

$u^0 = \gamma c$ , y no solo

- g_{00}

$-g_{00}$ , no cancela la parte de presión en el cálculo de

T^{00}

$T^{00}$

Vicente

Si considero un fluido en reposo en coordenadas comóviles, entonces creo que

T^{00} = ρ

$T^{00}=\rho$

chico hidro

Aun así, no puedes hacer el razonamiento que estás haciendo en la segunda parte. Tienes

u^{μ} = c \frac{d x^{μ}}{d s}

$u^\mu=c\frac{dx^\mu}{ds}$ , y realmente no puedes establecer '

d x^{2} = d y^{2} = d z^{2} = 0

$dx^2=dy^2=dz^2=0$

Vicente

En la segunda parte, como mi fluido está en reposo, creo que los términos

\frac{d x}{d t}

$\frac{dx}{dt}$ ,

\frac{d y}{d t}

$\frac{dy}{dt}$ ,

\frac{d z}{d t}

$\frac{dz}{dt}$ son insignificantes en comparación con

c^{2}

$c^2$ , ¿no es así?

chico hidro

Estoy revisando mis cálculos, y he aquí por qué odio el

g_{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)

$g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$ : tu defines

u^{μ} = - c \frac{d x^{μ}}{d s}

$u^{\mu} = - c\frac{dx^\mu}{ds}$ porque tienes intervalos de tiempo en esta firma

c d τ = - d s

$cd\tau = -ds$ y siempre tienes

u^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ}

$u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ , y ahí tienes tu problema de signos.

Vicente

Entonces, para usted, ¿en qué paso específico mis cálculos son falsos?

Respuestas (1)

Tensor de energía de estrés de un fluido perfecto y cuatro velocidades

$u^0 = \gamma c$ , y no solo $-g_{00}$ , no cancela la parte de presión en el cálculo de $T^{00}$
Si considero un fluido en reposo en coordenadas comóviles, entonces creo que $T^{00}=\rho$
Aun así, no puedes hacer el razonamiento que estás haciendo en la segunda parte. Tienes $u^\mu=c\frac{dx^\mu}{ds}$ , y realmente no puedes establecer ' $dx^2=dy^2=dz^2=0$
En la segunda parte, como mi fluido está en reposo, creo que los términos $\frac{dx}{dt}$ , $\frac{dy}{dt}$ , $\frac{dz}{dt}$ son insignificantes en comparación con $c^2$ , ¿no es así?
Estoy revisando mis cálculos, y he aquí por qué odio el $g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$ : tu defines $u^{\mu} = - c\frac{dx^\mu}{ds}$ porque tienes intervalos de tiempo en esta firma $cd\tau = -ds$ y siempre tienes $u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ , y ahí tienes tu problema de signos.
Entonces, para usted, ¿en qué paso específico mis cálculos son falsos?

Caballero de la Luna · Answer 1

Un fluido perfecto se define por la propiedad de que, en el marco de reposo local, no permite flujos de energía ni tensiones anisotrópicas. Por lo tanto, en un punto de espacio-tiempo dado, en el marco de reposo local [en el que las componentes de la 4-velocidad son $u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0)^{\mathsf{T}}$ ], los componentes del tensor de impulso de energía son $T^{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(e, p, p, p)$ dónde $e$ es la densidad de energía local, $p$ es la presión en el marco de reposo local. Entonces, en coordenadas generales, la forma del tensor de energía-momento (como has escrito) es

T^{α β} = (mi + pag) {tu}^{α} {tu}^{β} + pag {gramo}^{α β} .

$T^{\alpha\beta} = (e + p)u^{\alpha}u^{\beta} + pg^{\alpha\beta}.$

Asumiendo unidades donde $c = 1$ . Como bien has señalado

T^{00} = (mi + pag) {tu}^{0} {tu}^{0} - pag = mi,

$T^{00} = (e + p)u^{0}u^{0} - p = e,$

donde has mostrado correctamente $u^{0}u^{0} = 1$ .

Ahora, el error proviene de la forma en que dedujiste las cuatro velocidades de la expresión de la métrica. La forma correcta de derivar la velocidad de cuatro aquí es escribir primero la velocidad de cuatro como

{tu}^{α} = \frac{d}{d τ} (X^{0}, X^{i})^{T},

$u^{\alpha} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(x^{0}, x^{i})^{\mathsf{T}},$

lo que da

{tu}^{0} = \frac{d t}{d τ} = γ .

$u^{0} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \gamma.$

Luego, por supuesto, en el marco de descanso fluido obtenemos $(u^{0})^{2} = 1$ como antes.

Espero que esto ayude.

Editar. Para atender sus comentarios:

Para una partícula con coordenadas espaciales fijas $x^{i}$ , el intervalo transcurrido a medida que avanza en el tiempo es negativo, $\mathrm{d}s^{2} = −\mathrm{d}t^{2} < 0$ . Esto nos lleva a definir el tiempo adecuado a través de

d τ^{2} = - d s^{2} .

$\mathrm{d}\tau^{2} = -\mathrm{d}s^{2}.$

El tiempo propio transcurrido a lo largo de una trayectoria a través del espacio-tiempo será el tiempo real medido por un observador en esa trayectoria. Algún otro observador, como sabemos, medirá un tiempo diferente.

Un camino a través del espacio-tiempo se especifica dando las cuatro coordenadas del espacio-tiempo en función de algún parámetro, $x^{\mu}(\lambda)$ , donde normalmente para rutas temporales, el parámetro más conveniente para usar es el tiempo adecuado $\tau$ . Entonces podemos escribir

τ = \int \sqrt{- d s^{2}} = \int \sqrt{- {gramo}_{m v} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ}} d τ,

$\tau = \int \sqrt{-\mathrm{d}s^{2}} = \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau}}\mathrm{d}\tau,$

Los vectores tangentes $u^{\mu} = \mathrm{d}x^{\mu}/\mathrm{d}\tau$ , son nuestras cuatro velocidades y se pueden normalizar automáticamente, por lo que tenemos

{gramo}_{m v} {tu}^{m} {tu}^{v} = {tu}_{m} {tu}^{v} = - 1.

$g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu} = u_{\mu}u^{\nu} = -1.$

Para convencerse de esto, puede considerar la expresión anterior en el marco de descanso fluido. Aquí tenemos $\gamma = 1$ y $u^{i} = 0^{i}$ . De este modo, $u^{\mu} = (1, u^{i})^{\mathsf{T}}$ . Ahora, nuevamente considerando el marco de reposo del fluido, podemos ver claramente

{tu}^{0} {tu}^{0} = 1.

$u^{0}u^{0} = 1.$

Una vez más, espero que esto ayude.

En tus anotaciones puedes definir lo que es $\tau$ en mis notaciones (en función de $s$ o y $t$ )
$\tau$ es el tiempo propio . Tiempo medido en el marco de reposo del fluido. se define como $\mathrm{d}\tau^{2} = \mathrm{d}S^{2}/c^{2}$ .
La velocidad de cuatro como la he escrito es contravariante . Los vectores contrarios se escriben generalmente como vectores columna. Entonces, para hacer un vector representado por una fila $(x, y, z)$ representamos un vector contravariante/columna, tomamos la transpuesta. Esto es muy pedante de mi parte, pero es algo que siempre me gusta hacer cuando escribo vectores de esta manera. Para obtener más información sobre la covarianza y la contravarianza, consulte Wikipedia .
Oh, ok, no lo veo como pedante sino completamente justificado. Pero todavía no entiendo de dónde viene el menos entre $\frac{dx^0}{d\tau}$ y $-\frac{dt}{d\tau}$ porque para mi $x^0=t$ (así que cuando escribo $g_{00}dx^{0}dx^{0}$ yo obtengo $-c^2dt^2$ ).
@Vincent No estoy seguro de por qué tienes un problema con lo que he dicho anteriormente. Sin embargo, parece que realmente quieres ver la derivación de cuatro velocidades de la métrica. Ver la edición de arriba...

Tensor de energía de estrés de un fluido perfecto y cuatro velocidades

Vicente

chico hidro

Vicente

chico hidro

Vicente

chico hidro

Vicente

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Vicente

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