Descomposición de la parte simétrica de un tensor

Question

Descomposición de la parte simétrica de un tensor

Física
dinámica de fluidos
cálculo tensorial
tensión-energía-momentum-tensor

Rohan Mittal

La velocidad del tensor de deformación se da como

{mi}_{i j} = \frac{1}{2} [\frac{\partial v_{i}}{\partial X_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial X_{i}}]

$e_{ij} = \frac{1}{2}\Big[\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Big]$ dónde

v_{i}

$v_i$ es el

i

$i$ th componente del campo de velocidad y

x_{i}

$x_i$ es el

i

$i$ ª componente del vector de posición. Por lo que leo, entiendo que

e_{i j}

$e_{ij}$ es la tasa de tensor de deformación o la parte simétrica del tensor de deformación, es decir

\nabla v

$\nabla \bf{v}$ . La velocidad del tensor de deformación se puede descomponer de la siguiente forma:

{mi}_{i j} = [{mi}_{i j} - \frac{1}{3} {mi}_{k k} d_{i j}] + \frac{1}{3} {mi}_{k k} d_{i j}

$e_{ij} = [e_{ij} - \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}] + \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}$ Por lo que pude deducir,

e_{k k}

$e_{kk}$ Se puede escribir como

\nabla \cdot v

$\nabla \cdot \bf{v}$ que representa la expansión volumétrica pura de un elemento fluido y el primer término es algún tipo de tensión que no abarca el cambio volumétrico. ¿Es esto correcto o hay algo más? ¿Cuál es la interpretación física correcta para ello y por qué es útil?

Además, leí que cualquier parte simétrica del tensor se puede descomponer en una parte "isotrópica" y una parte "anisotrópica". No puedo entender por qué podemos hacer esto y lo que representa físicamente. Me gustaría tener una comprensión matemática y física de este tipo de descomposición. Soy muy nuevo en tensores y mecánica de fluidos y me gustaría tener una comprensión completa de esto. Gracias por las respuestas.

Chet Miller

Aquí hay una sugerencia. Escríbalo en forma de componentes para el caso de las direcciones principales del tensor de velocidad de deformación. Esto eliminará los términos cruzados y le dará una mejor idea de cómo se desarrollan los términos.

Respuestas (2)

Descomposición de la parte simétrica de un tensor

Aquí hay una sugerencia. Escríbalo en forma de componentes para el caso de las direcciones principales del tensor de velocidad de deformación. Esto eliminará los términos cruzados y le dará una mejor idea de cómo se desarrollan los términos.

fantasmas en las figuras · Answer 1

Hay muchas respuestas diferentes a su pregunta (ya que la utilidad es subjetiva), pero esta es la que consideraría la "principal".

Muy a menudo asumimos que los fluidos son incompresibles, es decir, que la densidad $\rho$ es constante, y por lo tanto $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ de la ecuación de continuidad de masa. Dividiendo el tensor de velocidad de deformación $\bf{D}$ en una suma de un tensor isotrópico $\mathbf{P}$ y un tensor desviador sin trazas $\mathbf{S}$ ,

D = PAG + S = \frac{1}{3} tr (D) I + (D - \frac{1}{3} tr (D) I) = \frac{1}{3} (\nabla \cdot v) I + S

$\mathbf{D} = \mathbf{P} + \mathbf{S} = \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I} + \left(\mathbf{D} - \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I}\right) = \frac{1}{3}(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} + \mathbf{S}$ podemos aislar la fuente de los efectos de compresibilidad como

P

$\mathbf{P}$ e ignorarlo en el caso en que

ρ

$\rho$ es constante, lo que simplifica considerablemente las ecuaciones constitutivas.

Esto puede ser útil, por ejemplo, para brindarnos una forma sencilla de analizar matemáticamente el comportamiento de los fluidos en el régimen en el que se vuelven ligeramente comprimibles: sabemos que los efectos aparecerán en el tensor de velocidad de deformación como un término diagonal adicional $\epsilon \mathbf{I}$ dónde $\epsilon \ll 1$ , y podemos usar la teoría de la perturbación para ver cómo se propaga la compresibilidad en la mecánica.

Desde una perspectiva más general, al formular leyes constitutivas que involucran tensores de tipo arbitrario en la mecánica clásica, buscamos formular tales leyes para que satisfagan la objetividad (invariancia de transformación galileana). Tales leyes solo pueden depender de las invariantes de los tensores , y como resultado es útil aislar los términos que dependen de cada invariante individual, de los cuales la traza es una.

Creo que tu ecuación debería decir: $D = PAG + S = \frac{1}{3} tr (D) I + (D - \frac{1}{3} tr (D) I)$ $\mathbf{D} = \mathbf{P} + \mathbf{S} = \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I} + \left(\mathbf{D} - \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I}\right)$

Chet Miller · Answer 2

En forma de componente principal,

D_{11} = \frac{1}{3} [\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} + \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{2}} + \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{3}}] + [\frac{1}{3} (\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} - \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{2}}) + \frac{1}{3} (\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} - \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{3}})]

$D_{11}=\frac{1}{3}\left[\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right]+\left[\frac{1}{3}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}-\frac{\partial v_2}{\partial x_2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}-\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right)\right]$ El primer término entre paréntesis representa la contribución de la expansión/compresión isotrópica al tensor de tasa de deformación. Los dos términos en el segundo paréntesis pueden interpretarse como contribuciones de deformación de "corte puro" no isotrópicas al tensor de tasa de deformación. Este mismo tipo de cinemática de cortante puro se encuentra en la interpretación de deformaciones mecánicas sólidas. Google "corte puro" en mecánica sólida.

https://www.google.com/search?q=pure+shear

Descomposición de la parte simétrica de un tensor

Rohan Mittal

Chet Miller

Respuestas (2)

fantasmas en las figuras

Chet Miller

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Chet Miller

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