Tensor de Ricci del tensor de Riemann

Question

Tensor de Ricci del tensor de Riemann

Cristián París

He estado estudiando geometría diferencial y relatividad general y tengo una duda sobre el tensor de Ricci.

Entonces, según tengo entendido, para configurar las cosas: uno define el operador de curvatura de Riemann como $R: (U,V,W) \rightarrow R(U,V)W$ mapeo de tres campos vectoriales a un cuarto:

R (tu, V) W = \nabla_{tu} \nabla_{V} W - \nabla_{V} \nabla_{tu} W - \nabla_{[tu, V]} W

$R(U,V)W = \nabla_{U}\nabla_{V}W - \nabla_{V}\nabla_{U}W - \nabla_{[U,V]}W$

con $[U,V]$ siendo el conmutador. Esto tiene una buena interpretación geométrica como una medida de la no conmutatividad del transporte paralelo sucesivo a lo largo de las direcciones. $U$ y $V$ , versus $V$ y $U$ . Entonces, en algún sistema de coordenadas se calcula:

R (\partial_{α}, \partial_{β}) \partial_{γ} = \nabla_{\partial_{α}} \nabla_{\partial_{β}} \partial_{γ} - \nabla_{\partial_{β}} \nabla_{\partial_{α}} \partial_{γ}

$R(\partial_{\alpha},\partial_{\beta})\partial_{\gamma} = \nabla_{\partial_{\alpha}}\nabla_{\partial_{\beta}}\partial_{\gamma} - \nabla_{\partial_{\beta}}\nabla_{\partial_{\alpha}}\partial_{\gamma}$

donde desaparece el término conmutador; esto tiene una bonita expresión en términos de los símbolos de Christoffel, y luego $R^{\delta}_{\gamma \alpha \beta} = dx^{\delta} \left(R(\partial_{\alpha},\partial_{\beta})\partial_{\gamma}\right)$ es el tensor de Riemann en notación de componentes. Todo es maravilloso y hermoso hasta ahora.

Y ahora, ingrese el tensor de Ricci. Sé que se define como la contracción del tensor de Riemann:

R_{m v} = R_{m d v}^{d}

$R_{\mu \nu} = R^{\delta}_{\mu \delta \nu}$

Mis preguntas son las siguientes:

1) ¿Cuál es la motivación geométrica detrás de esta contracción particular del tensor de Riemann? (estamos contrayendo en el índice correspondiente a la primera "dirección de prueba" utilizada en el operador de curvatura de Riemann, ¿hay algún propósito para esta elección?)

2) ¿Cuál es la interpretación geométrica del tensor de Ricci? ¿Existe una forma libre de coordenadas de definirlo como un operador de curvatura, como el tensor de Riemann?

3) ¿Por qué contraer el segundo índice covariante y no otro? ¿Hay alguna razón para esto, o es solo una convención?

¡Gracias de antemano!

Respuestas (3)

Tensor de Ricci del tensor de Riemann

CFG · Answer 1

Una buena respuesta para la segunda pregunta está en este post . para el primero y el tercero, A Lemma (página 124) de la geometría de Riemann: una introducción a la curvatura escrita por John M. Lee afirma que

Lema 7.6: La curvatura de Ricci es simétrica $2$ -campo tensor. Puede expresarse de cualquiera de las siguientes formas:

R_{i j} = R_{k i j}^{k} = R_{i k}^{k}_{j} = - R_{k i}^{k}_{j} = - R_{i k j}^{k} .

$R_{ij}=R_{kij}{\ }^k=R_{ik}^{\;\;k}{\ }_j=-R_{ki}^{\;\;\ k}{}_j=-R_{ikj}^{\;\;\;\;k}.$ Espero que esto sea útil.

amcalde · Answer 2

1) Claro. Se contrata con la dirección de prueba y una de las direcciones de transporte paralelo. Podrías usar el otro e introducir un signo menos. Si contrata con respecto a la $W$ dirección entonces pierdes sentido. Es decir: no creo que la contracción sea interesante.

2) El tensor de Ricci representa el cambio de volumen de una bola geodésica. Decir, $\textrm{Ric}(X,W)$ es el cambio de volumen a lo largo $W$ como $X$ cambios. Entonces puede escribirlo en notación libre de coordenadas pero con el uso de la notación de mapa de seguimiento. (Piense en la contracción como sumando direcciones, para hacer un volumen. Esta es una forma tosca de pensar en ello, pero es como siempre lo imagino en mi cabeza).

3) Mmm. Creo que respondí esto con 1). es convención.

¿Eso ayuda?

Editar: puede ver 2) fácilmente si expande los términos más bajos del elemento de volumen dadas las pequeñas desviaciones de una métrica plana.

¡Sí, ayuda! Gracias. Su interpretación de la contracción suena muy bien, lo pensaré e intentaré dibujar un par de cosas para entenderlo mejor. Acerca de 1), entiendo: tienes que elegir U, V, W para la contracción, y elegir U o V da lo mismo excepto por el signo, por lo que por convención uno elige contraerse en U. Consíguelo. Pero, ¿por qué la contracción en W no es interesante? ¿Es cero?
Debido a la llamada identidad de First Bianchi, de hecho es cero.

arnaud · Answer 3

La discusión es vieja pero corta y me gustaría agregar una precisión sobre 3). Supongo que allí puedes elegir cualquiera. Dan tensores de Ricci opuestos. La convención que mencionas tiene la ventaja de que cuando contraes más a Ricci para obtener una curvatura escalar, esto le da una curvatura positiva a la esfera.

Más: Alguien escribió en Wikipedia que, aunque existen dos convenciones opuestas para el tensor de Riemann, la gente parece estar de acuerdo con el Ricci. Observé que en el libro Einstein manifold de Arthur L. Besse , el Riemann es lo opuesto al suyo y contraen el otro índice para que obtengan el mismo Ricci y el mismo escalar.

(Por supuesto, podría decidir tomar el otro Ricci y definir escalar como lo opuesto al Ricci contraído. O podría adoptar una convención en la que la esfera tenga una curvatura negativa. No recomiendo tomar ese camino).

Tensor de Ricci del tensor de Riemann

Cristián París

Respuestas (3)

CFG

amcalde

Cristián París

amcalde

arnaud

Comprensión conceptual de los símbolos de Christoffel

Geometría intrínseca vs extrínseca y singularidades gravitacionales (como la singularidad del anillo de Kerr)

Métrica de una variedad foliada por una subvariedad máximamente simétrica

Haces de fibras con morfismos de categoría como fibras

¿Cómo encontrar una métrica de un observador general?

Ejercicio 5.20 del ISM de John Lee. Cada subconjunto abierto de un SSS de subvariedad sumergido en la topología de subespacio también está abierto en la topología de subvariedad

Una variedad uniforme admite una forma n que desaparece en ninguna parte si es orientable

Contracción de índices

¿Dónde puedo encontrar la presentación original de la demostración, debida a Grothendieck, del lema ∂¯∂¯\bar\parcial-Poincaré?

Inferir las propiedades de las variedades de espacio-tiempo a partir de las de los mapas de gráficos