Métrica de una variedad foliada por una subvariedad máximamente simétrica

Estoy leyendo el último capítulo (solución de Schwarzchild y agujeros negros) de las notas GR de Sean Caroll ( http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 ).

Mientras habla de simetría esférica, dice cómo se puede usar el Teorema de Frobenius para foliar una variedad con simetría esférica con esferas en cada punto. Esto nos permite descomponer las coordenadas de una variedad n dimensional en$u^i$para la subvariedad, y$v^I$para decirnos en qué subvariedad estamos. (Si se considera la subvariedad en m dimensional,$i$va de 1 a m, y$I$de 1 a nm) .

Tengo problemas para entender el reclamo después de esta construcción, es decir

Si la subvariedad es máximamente simétrica, entonces es posible elegir la$u$coordenadas tales que la métrica de la variedad es

$$ds^2=g_{IJ}(v)dv^{I}dv^{J}+f(v)\gamma_{ij}du^i du^j$$

Intuitivamente, ¿cómo puedo ver lo siguiente?

1. ¿Por qué es máximamente simétrica una condición? ¿Qué sale mal si no es máximamente simétrico?

2. entiendo porque$f(v)$debería ser sólo una función de$v$, porque si mantengo mi$v^I$constante, y poligonal en la subvariedad asociada a ese punto, la métrica debe ser invariante.

Pero realmente no entiendo por qué$g_{IJ}$debe ser sólo una función de$v$, no estamos permaneciendo en la misma subvariedad mientras cambiamos$v$.

1. ¿Por qué no hay términos cruzados?$dv^I du^j$? Caroll dice que es 'asegurándose'$\frac{\partial}{\partial v^I}$son ortogonales a los vectores tangentes de la subvariedad. ¿Puedes dar más detalles sobre esto? ¿Por qué esto siempre es posible?

No estoy buscando argumentos matemáticos detallados, bastaría con agitar las manos. Pero, por supuesto, sería más que maravilloso si se proporcionaran ambos.