Inferir las propiedades de las variedades de espacio-tiempo a partir de las de los mapas de gráficos

Esta pregunta está relacionada con las variedades topológicas, como se discutió en una de las conferencias de Frederic Schuller sobre la gravedad: https://www.youtube.com/watch?v=93f-ayezCqE .

Un poco de historia: Brevemente, para estudiar el espacio-tiempo, le asignamos la estructura de una variedad topológica$M$porque uno puede mapear sus subconjuntos abiertos para abrir subconjuntos de$\mathbb{R}^d$, a través de mapas gráficos. Entonces se puede inferir la continuidad de la curva "real" en el espacio-tiempo (digamos,$\gamma : \mathbb{R} \to M$) de la continuidad de la curva (a la que está asignada) en$\mathbb{R}^d$. De manera más general, se pueden inferir las propiedades del espacio-tiempo observando las propiedades de sus mapas gráficos (atlas).

El disertante enfatiza que mientras la curva en la variedad es una "cosa físicamente real", la curva en$\mathbb{R}^d$no lo es, ya que depende de nuestra elección del mapa gráfico, que a su vez puede ser arbitrario. Por lo tanto, nos interesan las propiedades de$\mathbb{R}^d$curvas que son independientes de la elección del mapa del gráfico, y solo podemos hablar de que tales propiedades son aplicables a$\gamma$. La continuidad pasa a ser una propiedad independiente del gráfico, por lo que podemos hablar de "continuidad de$\gamma$".

Pregunta: ¿No depende la noción de la continuidad de las curvas del espacio-tiempo de nuestra elección de la topología en$M$? ¿Eso no descarta la continuidad como una "propiedad físicamente real" de una curva "físicamente real", ya que no es independiente de la elección de la topología? Si ese es realmente el caso, ¿por qué hacer todo el esfuerzo de inferir la continuidad de$\gamma$, en lugar de estar satisfecho con la continuidad del mapa gráfico ($\mathbb{R}^d$) ¿curvas?