Tensor de Ricci dado a través de la métrica

Como se mencionó en los comentarios, el cálculo de expresiones algebraicas para el tensor de Ricci que contiene la métrica, su inversa y su primera y segunda derivada es sencillo usando álgebra computacional.

La métrica más arbitraria

$$g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}$$ tiene 10 componentes independientes que son funciones de cuatro coordenadas $\left\{x_0,x_1,x_2,x_3\right\}$: $$g_{\alpha\beta}(x_0,x_1,x_2,x_3).$$ La métrica tiene una inversa con 10 componentes independientes $$g^{\alpha\beta}=g^{\beta\alpha}.$$

La métrica tiene 40 primeras derivadas parciales independientes

$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$ y 100 derivadas parciales segundas independientes (100 y no 160 debido a la simetría de las derivadas segundas) $$g_{\alpha\beta,\gamma\delta}=g_{\alpha\beta,\delta\gamma}.$$

Usando esos ingredientes ($g_{\alpha\beta}$,$g^{\alpha\beta}$,$g_{\alpha\beta,\gamma}$y$g_{\alpha\beta,\gamma\delta}$) uno puede calcular 21 componentes del tensor de Riemann$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$. Uno podría eliminar uno de esos 21 componentes usando la primera identidad de Bianchi.

Solo para dar un ejemplo en esta publicación:$R_{0102}$tiene 1510 términos: 4 segundas derivadas y el resto son contracciones de los símbolos de Christoffel:

El tensor de Ricci se puede construir a partir de la contracción

$$R_{\alpha\beta}=R^\mu_{\,\,\alpha\mu\beta}$$ entonces contiene los componentes de la métrica inversa y esos 21 tensores de Riemann:

Escribiendo$R_{\alpha\beta}$fuera en términos de$g$solo se vuelve súper desordenado en caso de$R_{01}$estamos hablando de 8711 términos. No tengo idea de cómo visualizar tal expresión aquí en SE. He subido un PDF (cuidado que es bastante grande) de$R_{01}$ aquí _

También cargué archivos .m que contienen los 10 componentes independientes de$R_{\alpha\beta}$ Rij.m y los 21 componentes de$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ Rijkl.m .

Como se señaló en el comentario de la pregunta original, esas expresiones tienen un uso muy limitado. Pero tal vez algunas conclusiones:

1. Vemos que una notación tensorial en la convención de suma es una forma muy muy elegante de formular esas expresiones.
2. Esta elegante notación enmascara la complejidad general de esas expresiones.
3. Las expresiones explícitas en términos de$g$ilustrar la suma importancia de las simetrías y una buena elección de coordenadas para un problema dado.
4. Para trabajar con las ecuaciones de campo se necesitan simetrías y/o métodos avanzados de Relatividad Numérica porque en una forma ingenua las expresiones y ecuaciones son demasiado complicadas. Tal enfoque de "fuerza bruta" de formular/imprimir las ecuaciones de campo de la Relatividad General está condenado al fracaso.

Probablemente la pregunta ya no sea relevante para el TS, pero podría ser de interés para otros.

$$\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu \nu}=&\frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\nu}{{g}_{\mu \sigma}}\, + \frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\mu}{{g}_{\nu \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\sigma}{{g}_{\mu \nu}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\nu \rho}{{g}_{\mu \sigma}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\mu \rho}{{g}_{\nu \sigma}}\,\\ & - \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\rho \sigma}{{g}_{\mu \nu}}\, - \frac{1}{2}\, {\partial}_{\nu}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\mu}{{g}_{\rho \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\mu \nu}{{g}_{\rho \sigma}}\, + \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\nu}{{g}_{\mu \kappa}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, + \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\mu}{{g}_{\nu \kappa}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, \\ & - \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \nu}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, - \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\mu}{{g}_{\kappa \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\nu}{{g}_{\lambda \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\sigma}{{g}_{\nu \lambda}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\nu \sigma}} \end{aligned} \end{equation}$$

Obtuve esto usando el programa de álgebra computacional Cadabra. Produce salida como un archivo LaTeX. Las notaciones son las siguientes

$$\begin{equation} \begin{aligned} R^{\rho}{}_{\sigma \mu \nu}& = \partial_{\mu}{\Gamma_{\nu \sigma}{}^{\rho}}- \partial_{\nu}{\Gamma_{\mu \sigma}{}^{\rho}} +\Gamma_{\mu \kappa}{}^{\rho}\Gamma_{\nu \sigma}{}^{\kappa}-\Gamma_{\nu \kappa}{}^{\rho}\Gamma_{\mu \sigma}{}^{\kappa},\\ \Gamma_{\mu \nu}{}^{\rho} &= \frac{1}{2}g^{\rho \sigma}\big(\partial_{\mu}{g_{\sigma \nu}} +\partial_{\nu}{g_{\sigma \mu}} -\partial_{\sigma}{g_{\mu \nu}}\big). \end{aligned} \end{equation}$$ No he probado ninguna simplificación del resultado usando las propiedades de la métrica.$g_{\mu\nu}$.