Conexión y curvatura usando formas diferenciales [duplicado]

Hay un ejemplo de derivación de la métrica de Schwarzschild utilizando el formalismo de tétrada en la Relatividad General de Wald. Tenga en cuenta que usa la notación de índice abstracto en lugar de la notación de formas diferenciales, sin embargo, esto es puramente una diferencia notacional de su parte, el procedimiento es completamente análogo.

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Sin embargo, la metodología general es la siguiente:

1) La primera ecuación de estructura de Cartan es

$$T^a=d\theta^a+\omega^a_{\ b}\wedge\theta ^b.$$ Para una conexión sin torsión, esto es $$0=d\theta^a+\omega^a_{\ b}\wedge\theta^b,$$ dónde $\theta^a$es el covielbein y $\omega^a_{\ b}$es la forma de conexión.

Si la conexión también es compatible con la métrica, entonces tenemos

$$(d^\nabla g)_{ab}=dg_{ab}-\omega^c_{\ b}g_{ac}-\omega^c_{\ a}g_{cb}=0,$$ lo que implica que para un marco ortonormal/rígido ( $g_{ab}=\eta_{ab}$) tenemos $$\omega_{ab}=-\omega_{ba},$$ por lo que en este caso la forma de conexión es $\mathfrak{o}(1,3)$-valorado (sesgo-simétrico cuando ambos índices bajan o aumentan).

Sabemos por la geometría pseudo-riemanniana que la condición de compatibilidad métrica y ausencia de torsión determina la conexión de manera única, por lo que, junto con la condición de antisimetría, la primera ecuación de estructura de Cartan se puede usar para calcular la conexión.

2) La ecuación

$$0=d\theta_a +\omega_{ab}\wedge\theta^b$$ consta de 4 ecuaciones de 2 formas. Al escribir la expansión de la base de $\omega_{ab}$explícitamente, puede obtener todas las formas de conexión 1 (he bajado todo a propósito, ya que la condición de antisimetría se puede usar de manera más efectiva en este caso).

3) Para calcular la curvatura se utiliza directamente la segunda ecuación estructural de Cartan:

$$\Omega_{ab}=d\omega_{ab}+\omega_{ac}\wedge\omega^c_{\ b}.$$

Básicamente, aquí se sabe todo, por lo que puede conectar todo y calcular por separado.$\Omega_{01},\Omega_{02},\Omega_{03},\Omega_{12},\Omega_{13}$y$\Omega_{23}$. Estás listo.

Notas:

• Es preferible expresar la forma diferencial utilizando la base de coordenadas, por lo que lo que obtendrá para la forma de conexión, por ejemplo, es$\omega_{\mu\ b}^{\ a}\mathrm{d}x^\mu$.

• Calcular la forma de conexión es la parte "difícil" aquí: es solo un poco más fácil/más rápido que usar la fórmula de base de coordenadas para los símbolos de Christoffel; sin embargo, calcular la curvatura es MUCHO más fácil. En el enfoque de base de coordenadas, debe enumerar manualmente todos los componentes independientes y calcularlos, lo cual es una molestia, mientras que aquí solo necesita calcular seis formas de 2, básicamente está agrupando múltiples cálculos de manera eficiente en cadenas de componentes.