¿Existe un buen tratamiento de la física "familiar" utilizando cálculo exterior, también conocido como formas diferenciales?

Por física familiar , me refiero a la física de las cosas que puedo alcanzar y tocar. En otras palabras, ni la relatividad ni la dinámica analítica, etc.

Después de volver a leer el capítulo 4 de Gravitation de MTW una vez más, me pregunto dónde está la recompensa. Del mismo modo, leyendo las partes introductorias de Differential Forms with Applications to the Physical Sciences , de Harley Flanders, tengo la impresión de que, en cierta medida, el cálculo exterior es una solución en busca de un problema.

Entre las supuestas ventajas que Flanders promociona para el exterior sobre el cálculo tensorial es que el cálculo tensorial pierde los conceptos esenciales en un "laberinto de índices". Pero, el cálculo exterior viene con su propio equipaje similar. Ideas como "retrocesos" hacen que lo familiar (reparametrización) sea intratable. De hecho, algunas de estas complicaciones en el cálculo exterior pueden expresarse utilizando un laberinto de índices comparable. Véase, por ejemplo, Tensors, Differential Forms, and Variational Principles Por: David Lovelock, Hanno Rund . Siguiendo el enfoque utilizado en Cálculo avanzado de varias variables Por: CH Edwards, Jr. , se me ocurrieron algunas formas bonitas de combinar índices múltiples y la convención de suma de Einstein que condensa de manera convincente el laberinto de índices del cálculo exterior.

Pero, hasta ahora, todos los tratamientos y aplicaciones del cálculo exterior que he encontrado están bastante avanzados. Cuando aprendí a usar vectores, no necesité todo un arsenal de teoría para hacer un uso productivo de ellos. Podría haber, y probablemente debería haber aprendido tensores de la misma manera. Puedo decir honestamente que nunca entendí realmente los tensores hasta que los apliqué a temas tan familiares como los flujos de fluidos y la elasticidad. En particular, el gradiente de un campo de velocidad me abrió los ojos.

¿Existe algún tratamiento de la física "familiar" que utilice formas diferenciales que ilustre su aplicabilidad sin agregar el desafío intelectual de temas más esotéricos como la forma electromagnética de 2 o la geometría simplista del espacio de fase? Puede darse el caso de que tales aplicaciones no se hayan hecho simplemente porque equivale a "reinventar la rueda". Estos temas han sido tratados de manera efectiva utilizando las técnicas de la física introductoria y, por lo tanto, no son interesantes para los maestros de las formas diferenciales. Estoy interesado en tal redundancia.

¿Alguna sugerencia?

Todo el cálculo vectorial (y por lo tanto todo el E&M, la mecánica de fluidos, etc.) se puede formular usando formas diferenciales, y hay muchas descripciones pedagógicas desde un punto de vista matemático. Sin embargo, a menos que esté tratando con un espacio-tiempo que es más complicado que Minkowski (3+1) dimensional, es un gran esfuerzo adicional para una mejora real muy pequeña.
No estoy realmente interesado en la "mejora" per se. Estoy interesado en familiarizarme con las formas diferenciales en un ámbito en el que es aplicable mi razonamiento "ingenuo". Que el dual de Hodge de la densidad de 4 corrientes sea igual a la forma de carga 3 en el espacio de Minkowski no es inmediatamente accesible a mi intuición.
No estoy de acuerdo con @Buzz y me gustaría argumentar que la notación más común es innecesariamente torpe y no va al grano. Hay un libro bastante antiguo de Westenholz y el libro de Nakahara sobre "Geometría, topología y física" trata aplicaciones más modernas. (Pero debo advertirte: si sigues estos, probablemente no estarás dispuesto a ver ninguna de las exposiciones tradicionales de, digamos, la teoría de Maxwell. ;-)
Por lo que he leído, las formas diferenciales son un caso especial de un álgebra tensorial con ciertos términos cocientes que son cero.

Respuestas (2)

¿Incluye la termodinámica dentro de la "física familiar"? Si es así, no puedo ofrecerle una referencia a libros impresos (aunque no puedo excluir que haya algunos). Desarrollé tal tratamiento, hace casi 30 años, cuando enseñaba Física General I, un año completo, 1er año (19) curso de Física en la Universidad de Pisa (Italia). Las notas de clase están disponibles, pero en italiano.

Te daré un bosquejo de un argumento especial, la prueba del siguiente teorema:

Si un fluido termodinámico obedece a la ecuación de estado

(1) PAG V = R T
entonces la energía interna depende solo de la temperatura.

(La prueba también es incompleta en el sentido de que se dejan entendidos algunos pasos previos necesarios).

1) Se conocen dos formas diferenciales: ω para el calor, λ para el trabajo. El primer principio se establece como

λ + ω = d tu .

2) El trabajo es λ = − PAG d V , el calor es ω = T d S . Entonces

(2) d tu = T d S − PAG d V .

3) Diferenciar (2)

(3) d T ∧ d S = d PAG ∧ d V .

4) Diferenciar (1)

PAG d V + V d PAG = R d T .
Producto externo con d V da
(4) V d PAG ∧ d V = R d T ∧ d V .

5) De (1) tenemos V = R T / PAG y sustituyendo en (4)

T d PAG ∧ d V = PAG d T ∧ d V
y usando (3)
T d T ∧ d S = PAG d T ∧ d V
d T ∧ ( T d S − PAG d V ) = 0
o, por (2)
(5) d T ∧ d tu = 0.

6) Anteriormente se había demostrado que si para dos funciones escalares F , gramo uno tiene d F ∧ d gramo = 0 entonces F y gramo son funcionalmente dependientes, es decir (en términos generales) uno es función del otro. Entonces (5) prueba el teorema.

Tendré que pensar en tu ejemplo. En una nota similar: creo que un enfoque de formas diferenciales podría ser aplicable a la difícil tarea de producir los conceptos básicos "obvios" de la teoría cinética de los gases. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Kinetic/kinthe.html#c2 Es posible que no reduzca la cantidad de movimientos de la mano, pero podría proporcionar una vista alternativa. En lugar de hablar de partículas que rebotan entre las paredes, cuente el número de "paredes" penetradas por la molécula promedio. Representa la densidad de la "pared" usando una forma de 1.

Quería sugerirte Flanders, pero al parecer ya lo conoces y no te gustó. De todos modos, mirando tus preguntas, parece que estás luchando con la geometría diferencial en general.

Por esta razón me gustaría sugerir Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists. Es bastante bueno y una lectura agradable.

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