Tensor de curvatura de Riemann en la teoría de perturbaciones de primer orden como una derivada de Lie del tensor de curvatura de Riemann en orden cero [cerrado]

En la relatividad general, un difeomorfismo, es decir, una transformación de norma, se representa infinitesimalmente mediante un desplazamiento de la variedad mediante un campo vectorial, en el que

$$X_a \to X_a + \xi_a$$

Por definición, el tensor métrico cambia por una derivada de Lie,

$$g_{ab}\to g_{ab}+\mathcal{L}_\xi g_{ab} = g_{ab} + 2\nabla_{(a}\xi_{b)}$$

Por lo tanto, induce una perturbación lineal no física, que denotamos$h_{ab}$. Los coeficientes de conexión, o símbolos 'Christoffel' experimentan una variación,

$$\delta \Gamma^{a}_{bc} = \frac{1}{2}\left(\nabla_c h^{a}_{b}+\nabla_{b}h^{ac}-\nabla^{a}h_{bc} \right)$$

La variación del tensor de Riemann también se puede expresar en términos de derivadas covariantes con respecto a la métrica de fondo no perturbada,

$$\delta R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma})$$

La variación en términos de$h_{ab}$se calcula directamente insertando las variaciones de Christoffel,

$$\delta R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \frac{1}{2} \left[\nabla_\mu\nabla_\sigma h^{\rho}_{\nu} + \nabla_\mu \nabla_\nu h^{\rho}_\sigma - \nabla_\mu \nabla^\rho h_{\nu \sigma} -\nabla_\nu \nabla_\sigma h^{\rho}_\mu - \nabla_\nu \nabla_\mu h^{\rho}_\sigma + \nabla_\nu \nabla^{\rho} h_{\mu\sigma}\right]$$

Para combinar términos, se puede usar la identidad de Riemann para intercambiar derivadas covariantes, pero al precio de introducir el tensor de Riemann original. Finalmente, para obtener la variación en términos del campo vectorial original, simplemente ingrese$h_{ab}=2\nabla_{(a}\xi_{b)}$.