Temperatura en el límite hamiltoniano

No estoy completamente seguro de entender su pregunta, pero parece que la confusión básica está en qué límites exactamente se toman en este mapeo y cómo se reescalan las variables. Estoy casi siguiendo el tratamiento de Sachdev al comienzo de su libro Quantum Phase Transitions, pero adaptado a una cadena de Ising 2D y con sus variables.

Bien, tus variables originales son:

$\tau$: espaciado de celosía (en x e y)

$N$: número de sitios de celosía (en x e y)

$\beta_x$: acoplamiento en x dividido por T

$\beta_y$acoplamiento en y dividido por T

Ahora, vas a tomar el límite donde$\tau \rightarrow 0$, como dijiste, y hacerlo de una manera particular. Específicamente:

-Llevar$\tau \rightarrow 0$y$N \rightarrow \infty$, tal que$N\tau=L$(la longitud del sistema) permanece constante.

-Llevar$\tau\rightarrow 0$y$\beta_y \rightarrow 0$, tal que$\beta_y/\tau =E_{0,y}$permanece constante, donde$E_{0,y}$es la energía del estado fundamental por unidad de longitud a lo largo de la dirección y. Haz lo mismo con$\beta_x$y$E_{0,x}$.

-Llevar$\xi$fijo, donde$\xi$es una propiedad macroscópica de interés. Por ejemplo, uno puede tomar$\xi=(a/2)e^{2\beta_y}$, dónde$\xi$es la longitud de correlación (Sachdev deriva esto).

Esto equivale a mantener las escalas de gran longitud (L y$\xi$) constante mientras que el microscópico$\tau$va a cero.

Entonces, el juego que se juega es escribir la expresión de la matriz de transferencia para la función de partición puramente en términos de$L$, el$E_{0}$arena$\lambda$, en cuyo punto no se modifica tomando el límite termodinámico. Una vez que haga esto, encontrará que la matriz de transferencia T tiene una forma como:

$T=e^{\tau H'(E_{0,x},E_{0,y},\xi)}$

dónde$H'$es alguna función de los parámetros escalados (que se convertirán en el nuevo hamiltoniano). Esto significa que la expresión de la función de partición se convierte en:

$Z=tr(T^N)=tr(e^{N\tau H'})=tr(e^{L H'})$

momento en el que la expresión de la función de partición usa completamente las variables escaladas, y puede tomar el límite termodinámico sin cambiar su forma.

En este punto,$H'=E_{0,x}\sum_i \sigma_1(i) \sigma_1(i+1)+(1/2\xi)\sigma_3(i)+E_{0,y}$. Entonces puedes eliminar el término constante$E_{0,y}$y combine los otros dos términos en un parámetro$\lambda$para obtener su expresión.

Así que me parece que tal vez estabas confundido acerca de$N$y$L$, que espero haber nombrado de acuerdo con la misma convención que tú.$N$, el número de sitios de celosía, de hecho diverge en este límite. Sin embargo, la expresión de la función de partición utiliza$L$, la longitud del sistema, que se mantiene constante en este límite.$L$juega el papel de temperatura inversa del sistema en cuestión, mientras que$\lambda$puede contener algo así como una temperatura característica$T_c$para una transición de fase. Esto significa que la fase del sistema está determinada por$L\lambda$, la única combinación de parámetros disponible.