Paradoja en T=0T=0T=0 en el modelo 1D Ising

Hay dos formas de resolver esta "paradoja".

El primero es decir, como lo sugirió probablemente_alguien en los comentarios, que un sistema realista nunca estará perfectamente aislado de los campos magnéticos. Un campo magnético externo infinitesimal será suficiente para que se favorezca uno de los dos estados fundamentales, seleccionando así uno de los dos estados fundamentales en el límite$T\to 0$.

La segunda resolución es más formal. Aparentemente, si el hamiltoniano$\mathcal H(\sigma_1, \dots, \sigma_N) = \mathcal H (\{\sigma_i\})$es invariante bajo la inversión de todos los giros$\sigma_i \to -\sigma_i$, entonces también la probabilidad canónica del estado$\{\sigma_i\}$

$$P[\mathcal H\{\sigma_i\}]=\frac{e^{-\beta \mathcal H(\{\sigma_i\})}}{Z} \tag{1}$$

será invariante bajo la misma transformación. Esto significa que la magnetización

$$m \equiv\langle \sigma_i \rangle = \sum_{\{\sigma_i\}} \sigma_i P[\mathcal H (\{\sigma_i\})]$$

siempre debe ser$0$, desde$m$y$-m$ocurrir con igual probabilidad.

Para un sistema de volumen finito, la corrección de este argumento es irrefutable: no hay transiciones de fase (verdaderas) en volumen finito . Un modelo de Ising de volumen finito solo aparentemente seleccionará una magnetización definida como$T\to0$, pero si espera lo suficiente (un tiempo exponencialmente largo con el tamaño del sistema$N$), la magnetización eventualmente se invertirá, una y otra vez.

Sin embargo, como$V \to \infty$,$(1)$se convierte en sólo formal, ya que la función de partición diverge. En este caso, este argumento es incorrecto y se puede demostrar que mientras

$$\lim_{V\to \infty} \lim_{h \to 0^{\pm}} m = 0$$

tienes

$$\lim_{h \to 0^{\pm}} \lim_{V\to \infty} m = \pm 1$$

Esto es lo que llamamos ruptura espontánea de la simetría : incluso en ausencia de un campo externo (que rompería explícitamente la simetría), se selecciona un solo estado fundamental entre los dos posibles estados fundamentales.