¿Por qué no se pueden afinar las notas de acuerdo con una frecuencia definida?

¿Por qué todo el mundo dice que un piano nunca puede estar afinado?

¿Por qué no podemos simplemente asignar una frecuencia particular a cada nota (A, A#, B, C, C#, etc.) y luego afinar cada cuerda del piano a la frecuencia de cada nota?

De manera similar para las cuerdas de guitarra: ¿por qué no podemos simplemente poner los trastes de manera que las cuerdas vibren a la frecuencia correcta?

¿Es tan difícil? ¿No puede esto resolver el problema de que la entonación suena diferente en cada tecla, excepto que un temperamento igual está ligeramente desafinado en cada tecla?

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué necesitamos afinación templada?
En la guitarra, hay guitarras con trastes en abanico que ayudan a compensar, pero cada traste, para adaptarse a tu ideal, tendría una forma de zig-zag, ¡y aun así no sonaría bien en algunas teclas!
Nadie dice eso. La gente dice cosas similares con restricciones explícitas, como la elección de justo frente a buen temperamento, etc.
El problema de tratar de afinar un teclado solo para la entonación no es solo que algunas teclas no se puedan usar; no es posible hacer utilizables todos los acordes de una sola tecla. Por ejemplo, no es posible afinar los acordes I, II, IV y V de una tonalidad mayor en entonación justa.

Respuestas (8)

¿Por qué no se pueden afinar las notas de acuerdo con una frecuencia definida?

Ellos pueden. Pero lo que no podemos hacer es sintonizarlos a la frecuencia "correcta", porque hay diferentes formas de especificar la frecuencia "correcta". Ha mencionado dos de ellos en su pregunta: solo entonación y temperamento igual. Como explica la respuesta de Kilian Foth, ambas formas de sintonización tienen ventajas y desventajas. Tampoco es 'correcto'.

¿Por qué todo el mundo dice que un piano nunca puede estar afinado...

Los pianos (y otros instrumentos de cuerda) introducen una complicación adicional, que es que los parciales de la cuerda no siguen una serie armónica perfecta, debido a la física del mundo real de cómo funciona la cuerda. Esto significa efectivamente que una sola nota de piano no está realmente afinada consigo misma , ¡y mucho menos con otras notas! Esto se compensa hasta cierto punto con una afinación estirada .

¿Es tan difícil...

¡Lo es, pero también es tan maravilloso ! Si viviéramos en un mundo en el que realmente solo hubiera 12 notas en las frecuencias 'correctas', todo podría sonar muy parecido. Son las variaciones en la afinación y la entonación de las notas las que le dan a la música gran parte de su belleza y variedad subjetivas.

Bueno, ¿por qué no podemos simplemente definir una nota, digamos A, como 440 Hz y derivar la frecuencia de todas las demás notas como múltiplos de la raíz 12 de 2 de A y llamarlas notas verdaderas en lugar de decir que están ligeramente desafinadas? Quiero decir que la frecuencia de una nota en particular no está predefinida. Podemos decidir lo que debería ser, ¿verdad?

Bueno, podemos decidir cuál es la frecuencia de una nota, sí. Pero cuando se trata de decidir cuál es la frecuencia de otra nota que queremos sonar afinada con esa nota, no, no podemos simplemente decidir cuál es. La percepción del oído humano de lo que está 'afinado' no depende de las definiciones de lo que son 'las notas verdaderas'; depende de las notas que tienen proporciones de frecuencia que son iguales o cercanas a ciertas proporciones.

Bueno, ¿por qué no podemos simplemente definir una nota, digamos A, como 440 Hz y derivar la frecuencia de todas las demás notas como múltiplos de la raíz 12 de 2 de A y llamarlas notas verdaderas en lugar de decir que están ligeramente desafinadas? Quiero decir que la frecuencia de una nota en particular no está predefinida. Podemos decidir lo que debería ser, ¿verdad?
¿Qué ganarías con ese @LeloucheLamperouge? Nada cambiaría la forma en que percibimos la música si haces eso. Algunos intervalos suenan más agradables al oído cuando se tocan de acuerdo con la definición pitagórica (por ejemplo, una quinta es 1,5 veces la frecuencia) que con el estándar 12-TET. Algunos músicos consumados pueden alterar ligeramente el tono de una quinta de 12 TET para que coincida con los otros instrumentos con los que tocan con gran efecto. ¿Por qué querrías quitar eso? Sería en detrimento de la música hermosa.
Con respecto a "Si viviéramos en un mundo donde realmente solo hubiera 12 notas en las frecuencias 'correctas', todo podría sonar muy parecido. Son las variaciones en la afinación y la entonación de las notas las que le dan a la música gran parte de su belleza y variedad subjetivas". - He escuchado tanta música del A440 12TET que la música escrita a propósito con una entonación justa suena extraña. En mi opinión, las variaciones en la afinación, la entonación y el temperamento no contribuyen mucho a la belleza y variedad de la música; de hecho, el temperamento y la afinación pueden hacer que una pieza suene peor al dar una impresión desafinada.
@mkorman, no entiendo por qué dijiste "suena más agradable al oído cuando se toca de acuerdo con la definición de Pitágoras que con el 12 TET". ¿Por qué es pitagórico más "agradable" al oído? ¿Te importaría explicarlo?
@LeloucheLamperouge He respondido en la pregunta. La respuesta a su pregunta se reduce a por qué ciertos intervalos suenan más consonantes que otros: todo tiene que ver con las proporciones de frecuencia.
@LeloucheLamperouge: la razón es física pura. Cuando las frecuencias son multiplicadores exactos entre sí, los ceros en las ondas sinusoidales se alinean y crean un sonido más agradable en el oído. Esta es la base de la octava, y así es como Pitágoras evolucionó las escalas inicialmente. Habrá escuchado a bastantes músicos en este sitio mencionar que algunos intervalos de 12 TET les suenan disonantes. Aparentemente, la tercera mayor es la que más sobresale.
@Dekkadeci, ¿qué música estás escuchando que haya sido escrita a propósito con una entonación justa? Tal vez sea extraño. Hay grupos vocales que cantan música de todo tipo de períodos diferentes más o menos en entonación justa, música escrita siglos antes de que alguien especificara un sistema de afinación determinado al escribir música. ¿Suenan extrañas esas actuaciones?
@phoog: toda la música de entonación explícita que escuché fue instrumental. Creo que las piezas que encontré eran del mismo compositor y estaban al menos en un idioma parcialmente tonal.
@Dekkadeci ok, entonces sustituya los conjuntos de cuerdas por grupos vocales. La pregunta se mantiene.
@phoog: creo que la música de entonación justa que encontré era, al menos parcialmente, para cuerdas como violines, y sí, sonaba extraño. (Las demostraciones de Musescore de entonación justa que he escuchado también suenan como si tuvieran notas desafinadas).

Podemos afinar cada cuerda/tubo a una frecuencia determinada con la precisión necesaria para fines musicales.

No podemos hacerlo para que satisfagan colectivamente varias propiedades musicalmente deseables, porque resulta que nuestra definición de esas propiedades es lógicamente inconsistente. La mejor tecnología del mundo no puede cumplir un requisito que se contradice.

En particular, no es posible afinar octavas perfectas (relación 2:1) y simultáneamente hacer que todas las quintas diatónicas sean quintas perfectas (relación 3:2), porque las matemáticas no cuadran: doce quintas perfectas casi corresponden pero no del todo a siete octavas perfectas. (Matemáticamente, esto se debe a que 3 y 2 son números primos entre sí).

Efectivamente, así es. Y además: no podemos tener tercios mayores perfectos (proporción 5:4) o tercios menores perfectos (6:5) con cualquier temperamento igual. Reglas matemáticas.
¿Por qué decidimos C * 3/2= G (es decir, un quinto) en lugar de llamarlo, digamos D (un segundo) o E (un tercero)?
Digamos que quieres tocar algo en Do mayor usando solo la entonación. Puedes calcular todas las frecuencias que quieras usando el intervalo y (por ejemplo), obtienes una frecuencia particular para E. Pero con esas frecuencias, los intervalos que usan E como raíz no estarán del todo afinados: solo puedes afinar tu instrumento para tocar en una tecla. Usando el mismo temperamento, todos los intervalos funcionan en su mayoría correctos, independientemente de la tecla que elija, pero todos los intervalos, excepto las octavas, se desvían hasta cierto punto del intervalo "ideal".
@LeloucheLamperouge: Biológicamente, nuestros oídos prefieren combinaciones de frecuencias con proporciones que contienen números enteros pequeños. Físicamente, esto se debe a que las ondas de sonido son aditivas y, por lo tanto, tienen una frecuencia resultante que depende de esa proporción. Matemáticamente, se eligen 12 notas porque las diferentes potencias de la raíz 12 (2) dan números muy cercanos a 5/4, 4/3 y 3/2, por lo que podemos crear varias combinaciones agradables con solo esas 12 notas. Por qué eso es cierto tiene que ver con fracciones continuas, o algo así.
Un pequeño detalle: no se mencionó la tercera punta del trilema. Puedes tener todas las octavas perfectas y todas las quintas perfectas simplemente... terminas necesitando infinitas notas en una octava para hacerlo (Dbb, C, B#, Ax#, ¿quién dice que son iguales? No lo son , solo pretendemos que lo son). El teorema ergódico dice que es incluso denso. Y sí, 19/12 es una de las fracciones continuas convergentes a log_2(3/2). Como accidente, 2^(4/12) también es una aproximación aceptable a 5/4.
"... doce quintas perfectas casi pero no del todo corresponden a siete octavas perfectas". Solo comprobando que entiendo: ¿la aritmética aquí es 2 ^ 7 = 128 pero (3/2) ^ 12 = 129.746?
@Ashley Sí, eso es exactamente. Esta es la razón por la que apilar quintas una encima de la otra da como resultado tonos que lentamente se vuelven cada vez más altos en comparación con los equidistantes.
¿Qué definiciones son "lógicamente inconsistentes"?
@BlueRaja-DannyPflughoeft por 'nuestros oídos prefieren' te refieres a 'las mentes de las personas criadas con música occidental'. Hay poca evidencia de que realmente sea una biología innata, ya que las tribus indígenas no comparten tales preferencias newscientist.com/article/…
@chepner, ha elegido un mal ejemplo, porque las proporciones (15: 8): (3: 2): (5: 4) se ajustan a las proporciones 15:12:10 de un acorde menor. ¿O estás hablando del G# de un acorde de Mi mayor?
@phoog Algunos intervalos corresponderían, pero no todos. Intenté omitir los detalles para evitar tener que discutir los que sí lo hacen :)
@chepner La que suelo usar es la progresión I-IV-ii-VI, o alguna variante de eso. Si afina C mayor, F mayor y G mayor en intervalos justos, entonces su quinto D a A es la relación 40:27 que suena muy agria. Si elevas la A para arreglar eso, pierdes el menor relativo, y si elevas la E para arreglar eso, has admitido la derrota al abandonar la entonación en el acorde tónico.
@ggcg: Las definiciones son: 1) Una octava consiste en (exactamente) una proporción de 2:1. 2) Existen intervalos más pequeños que una octava y son (siempre) números racionales. 3) Hay un número finito de notas en una octava. 2 es primo, por lo que si tiene una relación que no es 2:1 o una potencia de la misma, no puede multiplicar esa relación por sí misma repetidamente para llegar a una potencia de 2:1. Eso significa que apilar un intervalo racional sobre sí mismo repetidamente nunca aterrizará exactamente en su punto de inicio (en una octava más alta).
Kevin, tu declaración es evidentemente falsa. No es así como se definen universalmente los intervalos. Por eso tenemos 12tet, raíz 12 de 2
Además, el deseo de hacer cumplir su restricción matemática no es necesariamente lógico en primer lugar. Te pintaste en un rincón con esa declaración
@ggcg la suposición de la entonación justa es que los intervalos que no son racionales no están perfectamente "sintonizados". Ese es el origen de la segunda definición. Obviamente, "perfectamente afinado" es algo subjetivo, pero ciertamente es cierto que si afinas un teclado usando intervalos acústicamente puros, no resulta muy bien, y eso sí surge de la inconsistencia lógica entre esos puntos. El hecho de que "no es así como se definen los intervalos" es de hecho requerido por la inconsistencia lógica, razón por la cual discutir la inconsistencia es una respuesta a esta pregunta.
La razón de una cuarta por la razón de una quinta de hecho te da 2, una octava. Está claro que uno está creando una inconsistencia subjetiva por el bien del argumento. Al menos en este contexto la respuesta no es clara y conduce a más ambigüedad. Quizás el autor podría proporcionar la "definición" de consistencia y dónde surge la inconsistencia real.
@ggcg: Así es como funcionan las cosas actualmente, pero no es así como funcionaban históricamente. Consulte, por ejemplo , la afinación pitagórica (afina la quinta a exactamente 3: 2) o el medio tono de un cuarto de coma (afina la tercera mayor a exactamente 5: 4).
Eso no es parte del OP, entonces, ¿para qué sirve? Hay mucha ambigüedad en la pregunta y algunas respuestas. Simplemente afinando también sintoniza esa quinta exactamente a 3:2.

Un problema más es que las cuerdas del piano están bajo mucha más tensión que las de otros instrumentos. En promedio, cada cuerda tiene menos de 200 a 300 libras de tensión. A diferencia del violín, la guitarra o el clavicémbalo y sus parientes cercanos, las cuerdas del piano son vibradores anarmónicos. La frecuencia del primer armónico es superior a 2/1 y la del segundo superior a 3/1. La anarmónica varía según la cuerda. Cada piano es un poco diferente al igual que cada lugar. Por lo tanto, los pianos necesitan sonorización (cada cuerda afinada de forma ligeramente diferente). Todo esto se suma a la necesidad de moderar como se discutió en otras respuestas.

Que yo sepa, la anarmonía no es consecuencia de la tensión; es el resultado del hecho de que las cuerdas tienen rigidez, es decir, se resisten a doblarse hacia los lados, por lo que las ecuaciones para cuerdas perfectamente flexibles no son del todo correctas. Lo mismo se aplica a las cuerdas de la guitarra, pero el rango de tono de una guitarra no es lo suficientemente grande como para que desempeñe un papel en la afinación. (Por otro lado, las guitarras tienen todo un zoológico de otros problemas de afinación, como que el tono suba cuando punteas con fuerza o presionas demasiado la cuerda).
@RichardMetzler correcto. Sin embargo, la rigidez y la alta tensión son consecuencia del espesor , en ese sentido la declaración tiene sentido. — De hecho, la guitarra y el clavicémbalo también tienen inarmonía, aunque menos que el piano. (Mientras tanto, el bajo tiene una falta de armonía sustancial). El violín no, pero eso no se debe a una tensión más baja o incluso a un grosor, sino porque el arco crea un bucle de bloqueo de fase que obliga a los sobretonos a tener proporciones de frecuencia enteras reales.
¿ No son las palabras usuales inarmónico e inarmónico?

Es posible asignar cualquier frecuencia a cualquier cuerda (en instrumentos físicos con tal vez algún error, pero muy bajo. Los sintetizadores, en nuestros días, no tendrán ningún error). La cuestión de si un piano está "afinado" depende de qué quieres decir con esto.

Los acordes en una tonalidad “Mayor” tienen una relación física especial: a partir de una nota base (también conocida como bajo general) las tres notas son múltiplos absolutos en frecuencia. (Al duplicar la frecuencia se obtiene la octava, es por eso que las octavas suenan tan iguales entre sí). Entonces, de C1, frecuencia × 2 obtienes C2, frecuencia × 3 obtienes G3, frecuencia × 4 (× 2 × 2) obtienes C4, frecuencia ×5 obtienes E5, frecuencia ×6 (×3×2) obtienes G5; aquí está el acorde "mayor". Para una frecuencia de bajo de 110 Hertz, obtienes 440−550−660 como acorde "La mayor". Esta es una "melodía limpia", ¡pero no la encontrarás en un piano!

En un piano, la diferencia entre cada uno de los 12 semitonos es ×¹²√2, de modo que doce teclas más tarde, tienes ×(¹²√2)¹² = ×2 para la frecuencia. Un acorde mayor es entonces algo cercano a: 440−554⅓−659¼. Esta es una "melodía templada", y todavía está muy cerca de la "melodía limpia". Esto se debe a que, si sigues las reglas de una afinación limpia, recorrer una octava completa sería alrededor de ×2,003475 y esto pronto comienza a sonar extraño.

Esto se debe a la física de la frecuencia y no se puede "arreglar".

Eso significa que la misma nota en diferentes teclas tiene una frecuencia "correcta" diferente. es decir, la frecuencia de G derivada de A, es diferente de G derivada de B y así sucesivamente...?
Los cálculos de 'A mayor' no son correctos: funcionan 110, 220, 440, 880 Hz, pero no 550 y 660 Hz.
@LeloucheLamperouge en entonación "solo", sí, la misma nota en diferentes teclas tiene una frecuencia "correcta" diferente. El temperamento igual es el mismo en todas las teclas, pero el compromiso es que el temperamento igual está ligeramente desafinado para todas las teclas.
@Matthias tus cálculos no son claros. C1*2=C2 entonces C1*4=C2*2 que debería ser igual a C3 a la derecha. Del mismo modo, sobre G3 E5 y G5, ¿también te equivocaste, supongo?
@LeloucheLamperouge Sí. Así es como lo entiendo (aunque podría estar equivocado. No soy un estudiante de música). La frecuencia de cada nota depende de las notas que se tocan alrededor y con ella. No es solo que la frecuencia de cada nota cambie irregularmente a medida que sube o baja.
@topoReinstateMonica Pero solo definimos la frecuencia de A4 como 440hz y todas las demás notas se obtienen de ese derecho. ¿O B tiene una frecuencia "definida" distinta de la obtenida de A4?
@LeloucheLamperouge si define A4 como 440 Hz, entonces B4 (o cualquier otro B) podría tener varias frecuencias diferentes según el temperamento que esté usando. Definir el tono de una nota no define los tonos de otras notas hasta que también especifique un temperamento.
@topoReinstateMonica quise decir en la entonación justa porque eso es lo que los humanos encuentran agradable. Entonces, ¿qué significa que existan diferentes "claves"? Para eso, debemos definir una frecuencia verdadera para cada nota y luego derivar la frecuencia correcta apropiada para todas las notas relativas en esa clave. es asi? ¿Por qué no hay solo una tecla y todas las demás notas se obtienen de eso solo por entonación?
@LeloucheLamperouge Es incorrecto decir que la entonación justa es "lo que los humanos encuentran agradable", porque la mayoría de los humanos disfrutan de la música en otros temperamentos que sonarían (para muchas personas) peor en temperamento justo. Si desea afinar sus notas solo con el temperamento, elija su nota raíz y afine sus otras notas en relación con eso. Pero si está en Just C, entonces su quinto entre DA está "desafinado". La entonación justa es un compromiso, como todos los temperamentos.
@LeloucheLamperouge Si quiere saber cómo lo resolví, mire las proporciones en en.wikipedia.org/wiki/Just_intonation#Diatonic_scale . A es 5/3 de la frecuencia de C y D es 9/8 de esa frecuencia. si hacemos (5/3) / (9/8), obtenemos 1.48148.... - no el 1.5 puro que representaría una quinta "afinada". Como puede ver, ¡ la entonación justa también está "desafinada" en algunos aspectos!
@topoReinstateMonica. De acuerdo. Sólo este más. cuando decimos que estamos en una clave particular (digamos B mayor). ¿Cómo sabemos qué frecuencia base de B usar...?
@LeloucheLamperouge necesitarías saber el tono de tu concierto: en.wikipedia.org/wiki/Concert_pitch . Si conoce el tono de su concierto y el temperamento que desea usar, debería poder calcular las frecuencias de todas las notas.
@topoReinstateMonica incluso en una tecla, el tono de ciertas notas debe cambiar según el contexto armónico para lograr una entonación pura y justa. A menudo se afirma que un teclado afinado en entonación justa suena bien en una sola tecla, pero eso es incorrecto: solo ciertos acordes suenan bien, y no hay ninguna tecla en la que todos los acordes diatónicos estén afinados. No es correcto decir que la "entonación justa" está "desafinada" porque la entonación justa no se usa correctamente para afinar los teclados. Por eso es una "entonación" pero no un "temperamento".
@phoog "solo ciertos acordes suenan bien" - sí, como estaba explorando hace algunos comentarios (solo mencioné un solo intervalo, pero la razón subyacente es la misma). Estoy usando "desafinado" en el sentido de 'no tan consonante como podría ser', que supongo que es el sentido en el que se usó en "temperamento igual ligeramente desafinado en cada tecla" en el OP .

¿Es tan difícil...

Sí, lo es.

Hay tres observaciones sobre la afinación:

  1. Una octava suena perfecta cuando es exactamente un factor de 2 en frecuencia.

  2. Una quinta perfecta suena perfecta cuando es exactamente un factor de 3/2 en frecuencia.

  3. Si apilas doce quintas una encima de la otra y bajas siete octavas, regresas a la nota donde comenzaste.

El problema es que, matemáticamente, esto es una mierda. Porque significa eso 3^12 == 2^19, lo cual simplemente no es cierto. Está cerca, pero no puede funcionar. Elija dos de los puntos anteriores, no puede tenerlos todos.

Es por eso que cualquier ajuste debe hacer un compromiso entre los tres puntos mencionados anteriormente. El temperamento igual ajusta la quinta perfecta para ser 2^(7/12) = 1.498en lugar de 3/2 = 1.5. Es posible que no pueda escuchar la diferencia, pero las personas con un oído entrenado la escuchan. Es una de las experiencias más desconcertantes cuando aprendes a afinar una guitarra, por ejemplo, que no puedes afinar los intervalos a la perfección, debes agregar conscientemente el error para lograr algo así como un temperamento igual. Si no haces eso, obtienes una afinación que suena bien en algunos acordes, pero otros acordes aúllan como un lobo. El temperamento igual sacrifica el punto 2 de arriba.

Históricamente, la gente no usaba el mismo temperamento. En cambio, afinarían sus instrumentos de una manera que encajara con la música que pretendían tocar. Esto sacrificó el punto 3 de arriba. (Esto siempre genera al menos una quinta que no se puede usar en la música porque suena muy mal, rompiendo efectivamente el círculo de quintas. También podría decir que es el punto 2 el que se sacrifica porque algunas quintas no están ni cerca del factor. Sin importar cómo se 3/2mire en eso, estás sacrificando algo.)

Por supuesto, con la tecnología moderna, solo puede medir la frecuencia y afinar cada nota en consecuencia. Pero aún debe decidir qué temperamento usará para derivar las frecuencias "correctas", cuál de los tres puntos anteriores desea sacrificar. No puedes conseguir los tres.

"Sacrificaron el punto 3": en realidad, sacrificaron el punto 2.
@phoog Depende de cómo lo mires: obtienes al menos un quinto que no puedes usar en absoluto en tu música, por lo que también puedes considerar el círculo de quintos roto en ese punto.
@phoog He agregado una nota sobre el razonamiento de la respuesta, ahora.
"Esto siempre genera al menos un quinto...": Pero el punto 3 nunca funciona acústicamente. El único contexto en el que esa afirmación es cierta es el contexto de un temperamento de 12 tonos. La diferencia entre los temperamentos de 12 tonos está solo en cuántas quintas están comprometidas y en el grado en que están comprometidas.
Lo que trato de decir es que el verdadero mecanismo de compromiso en el punto 3 es un teclado con más de 12 tonos por octava, porque esto te da la capacidad de apilar 12 quintas y llegar a una nota diferente, por ejemplo, de G sostenido a La bemol en un teclado de teclas divididas. En cada teclado de 12 tonos, G sostenido y A bemol tienen el mismo tono, y la única forma de lograrlo es tener algunas o todas las quintas en una proporción distinta de 3:2.
¿Por qué incluso llegar a la afirmación de que un factor de 3/2 es "quinta perfecta" y luego decir que apilar esos "quintos perfectos" 12 veces debería devolvernos la nota original pero 7 octavas más alta? Ya que si no se comprueba matemáticamente, toda esta idea es absurda. Significa que nunca se supuso que 12 quintos fueran 7 octavas. ¿Por qué todos están de acuerdo en que "debería ser pero no lo es" y por eso "la música siempre está un poco desafinada". ¿Por qué no vinimos con un sistema musical que funciona perfectamente en matemáticas...?
porque 3/2 SUENA perfecto. Pero el poder de la raíz doceava de 2 no lo hace del todo (casi, pero no del todo). así que el sistema empezó a usarse porque sonaba mejor para las personas que lo estaban descubriendo. Y, personalmente, como flautistas barrocos, me gustaría que mis terceras estuvieran más afinadas de lo que cualquier piano podría ofrecer en su temperamento igual "matemáticamente perfecto".
@LeloucheLamperouge Lo que escuchas cuando afinas una quinta perfecta es exactamente este 3/2factor: es el punto donde todos los sobretonos impares de la nota más alta caen exactamente sobre los sobretonos de la nota más baja. Cualquier desviación hace que el intervalo suene impuro. De la misma manera que todos los armónicos de una octava caen precisamente sobre los armónicos impares de la nota inferior. Esa es la física de los intervalos, y es la base para que prefiramos escuchar quintas y octavas puras. Los puntos 1 y 2 de mi lista se derivan directamente de la física.
@ cmaster-reinstatemonica sí, 3/2 veces una frecuencia suena bien con la frecuencia original debido a la física, pero ¿por qué la gente le asignó el nombre de "una quinta"? Después de todo, no teníamos la escala cromática o diatónica desde el principio de los tiempos. Entonces, "se llama quinto porque suena como un quinto" no es una respuesta válida. Y no explicaste por qué la gente asume que 3/2 apilados 12 veces debería ser una octava de la frecuencia original.
@LeloucheLamperouge El hecho de que usemos 12 seminotas se deriva directamente del hecho de que 2^19están 3^12muy cerca unas de otras. Es decir, si comienzas con 440 Hz (a'), luego subes 12 quintos (o como quieras llamarlo) y retrocedes 7 octavas (o como quieras llamarlo), llegas a 446 Hz. Eso es menos del 1,5% de descuento. bb', el siguiente semitono sobre a' está a 466 Hz. Mucho más lejos. Entonces, dejando al descubierto ese pequeño error, de hecho regresas a donde empezaste cuando recorres el círculo de quintas, y las 12 notas que encuentras son nuestros 12 semitonos. Es un pequeño error, pero sigue siendo un error.
Por cierto, la gente ha desarrollado aproximaciones más precisas que 12TET. 53TET, por ejemplo ( en.wikipedia.org/wiki/53TET ), que usa 53 semitonos para explotar el hecho de que 3^53está muy cerca de 2^84, tiene una desviación de solo un 0,2 %. Pero aún así, cada vez que intentas hacer coincidir una potencia de 3 con una potencia de 2, obtienes una falta de coincidencia. Tu amigo matemático te lo habría dicho...
@LeloucheLamperouge "¿por qué la gente le asignó el nombre de 'quinta'?": porque es la quinta nota de la escala. Creo que surgió originalmente por la práctica temprana de interpretar melodías con un dron. La quinta nota de la escala se asentó en esa frecuencia porque ahí suena mejor. Esto también se ve en la música india. Fue solo a medida que se expandió el lenguaje armónico (siglos más tarde) que se hizo necesario reconciliar el ancho de 12 quintos con el de 7 octavas.
@cmaster-reinstatemonica el hecho de que tenemos 12 semitonos se volvió inevitable cuando la escala diatónica se dividió en cinco pasos completos y dos medios pasos, siglos antes de que la gente escribiera música de 12 tonos. Rellenar los semitonos produce 12 semitonos por octava. Fue solo más tarde, cuando la gente realmente comenzó a intentar afinar los teclados de 12 tonos, que tuvieron que comenzar a preocuparse por la coma pitagórica. Por lo que puedo decir, no hay una diferencia práctica entre 53-TET y la entonación justa de tono variable.
@phoog Si dice que nuestros 12 semitonos provienen de la mitad/pasos enteros de la escala diatónica, esa es solo la mitad de la historia. La otra mitad es que la escala diatónica es la escala que obtienes cuando tomas siete notas consecutivas del círculo de quintas. La nota completa coincide con dos pasos en el círculo con una fracción ideal de 3/2 * 3/2 / 2 = 9/8. Si toma solo cinco notas, obtiene la escala pentatónica; si toma más de siete, comienza dividiendo pasos enteros por la mitad. Entonces, nuevamente, la razón fundamental sigue siendo la historia de 2^19ser aproximadamente 3^12.
"la escala diatónica es la escala que obtienes cuando tomas siete notas consecutivas del círculo de quintas": no es necesario considerar ese hecho para explicar el sistema de 12 tonos. Explica (o quizás se deriva de) una preferencia por la afinación pitagórica en los primeros teclados (especialmente aquellos con 8 teclas por octava), pero el relleno de todos los pasos surge del desarrollo de la tonalidad a través de la polifonía. La coma pitagórica explica el problema de afinar un teclado con 12 teclas por octava, pero no explica por qué se agregaron las cuatro teclas adicionales.

No estoy seguro de que alguien haya explicado esto todavía, pero históricamente muchos instrumentos se afinaron de la manera deseada. Sin embargo, esto significaba que solo podías tocar en una clave y estar perfectamente afinado. Cuanto más te alejaras de esa clave, más desafinado sonarías. Algunos órganos preclásicos permitían afinar una clave determinada a través de un manguito deslizante alrededor del extremo de cada tubo. De manera similar, los laúdes tenían trastes de tripa que se podían ajustar deslizándolos a lo largo del diapasón de acuerdo con la clave en la que estabas tocando.

La principal fuerza para el temperamento igual (es decir, leve desafinación por igual en todas las tonalidades) fue quizás JS Bach cuando escribió sus 48 Preludios y Fugas.

Corrección Vea el comentario informativo a continuación por @brendan

Este es un concepto erróneo que no le da suficiente crédito a Bach. Se llama el "Clave bien temperado", no el "Clave de igual temperamento", y si se toca en un instrumento con buen temperamento, resalta las diferencias en la entonación de cada tecla. en.wikipedia.org/wiki/Well_temperament
@brendan - Gracias por ese comentario - He aprendido algo nuevo. Editaré mi respuesta para hacer referencia a ella. Me pregunto si hay alguna grabación de un teclado usando las afinaciones auténticas que conocía Bach. Su 48 sonaría muy diferente si se tocara de esta manera. ¿Los clavicémbalos de hoy en día están afinados de esa manera?
Descubrí un video que demuestra la afinación de Bach. Búsqueda de Afinación de un clavicémbalo en el temperamento de Bach - Bradley Lehman
Véase también Un preludio de Bach en tres temperamentos diferentes.
"Algunos órganos preclásicos permitían afinar una tecla determinada a través de un manguito deslizante alrededor del extremo de cada tubo": prácticamente todos los órganos permiten volver a afinar los tubos, ya que los órganos deben mantenerse afinados y las condiciones atmosféricas cambian. Pero no puedes volver a afinar cada pieza a menos que tengas un órgano bastante pequeño.
@phoog - ¡Exactamente, estoy hablando desde mi conocimiento personal! Fui a un concierto el año pasado en el que se utilizó un órgano portátil de este tipo junto con otros instrumentos históricos. Luego, el teclista abrió la tapa y me mostró los tubos sintonizables. Todo era un poco más grande que un piano vertical.
@chaslyfromUK He estado en algunos conciertos donde los órganos y/o clavicémbalos se configuraron en diferentes temperamentos para ciertas piezas. Esto siempre sucede en el intermedio, porque lleva demasiado tiempo hacerlo en cualquier otro punto del concierto. Hacerlo con un órgano de iglesia llevaría varias horas, si no días.
@phoog: sí, cambió la afinación durante un descanso. Por eso le pregunté si podía ver el interior. No tuvo que volver a sintonizar cada tubería ya que las teclas estaban estrechamente relacionadas. Ahora recuerdo que se llamaba órgano portativo. Aquí hay una imagen similar a la que vi. Recuerdo que había reemplazado el fuelle manual con una bomba de aire eléctrica, haciendo trampa, pensé. orgel-schumacher.com/media/1166/…

Usted afirma (en forma de pregunta) que la asignación arbitraria de frecuencias a los nombres de las notas en la escala cromática "resolvería el problema de que la entonación suena diferente en cada tecla excepto 1 y el temperamento igual está ligeramente desafinado en cada tecla". .

En base a esta afirmación parece que no sabes cómo surgen estos sistemas de afinación.

La afinación simple se basa en los armónicos naturales de algunos sistemas vibratorios típicos. Por lo tanto, los intervalos son muy "armoniosos" en este sistema de afinación.

La secuencia armónica es fn = n*f1.

De esto podemos obtener el "5º" y el "3º" de n = 3 y n = 5 armónicos. Obviamente, esta no es la proporción correcta, pero si las bajamos a la primera octava [f1, 2*f1] obtenemos f(5th) = 3/2 * f1 y f(3rd) = 5/4 * f1.

Si aplica el mismo razonamiento a partir del 5, obtendrá las proporciones para el 7 y el 9 (o el 2 reducido). La "cuarta" es realmente una quinta por debajo de la tónica, por lo que requerimos que la relación entre la cuarta (octava más baja) y la primera también sea 3/2, que se convierte en 2/3 con la inversión y 4/3 cuando se mueve hacia arriba y una octava. El punto es que estas proporciones se basan en la física de la vibración. Esto produce un conjunto de notas que tienen TRES proporciones consecutivas distintas, el semitono = 16/15 y dos tipos de tono completo con una proporción de 9/8 y 10/9. Por ejemplo la relación Re/Do = 9/8 pero la de Mi/Re = 10/9.

En cuanto a los nombres de las letras, tal vez habíamos elegido muy pocos en los primeros días de la música, o tal vez teníamos alguna otra notación que no se usa actualmente y que nos ayudó a distinguirlos. Si uno quisiera construir una escala de Re usando, como punto de partida, la segunda nota de la escala de Do, entonces la segunda nota, Re, no podría ser el Mi de la escala de Do porque no tendría la proporción correcta. Esto a veces se "correge" bajando la segunda nota, y lo mismo para las demás que no siguen un patrón estricto. Esta "corrección" ayuda a estandarizar las cosas y nos permite usar un alfabeto muy simple para describir las notas que tenemos disponibles.

Entonces, cuando dices que la escala Just es "diferente en cada tonalidad", ¡no está claro a qué te refieres! Si las proporciones se mantienen verdaderas, entonces debería sonar IGUAL en todas las teclas. Creo que debes tener claro qué cualidad crees que es diferente.

El sistema 12TET define el medio paso como la raíz 12 de 2, ~1.05946309436... . Este es un número irracional y, por lo tanto, imposible de calcular exactamente, aunque hacemos todo lo posible. En este sistema de afinación, TODOS los 1/2 pasos consecutivos tienen una proporción idéntica. Por lo tanto, TODOS los pasos completos tienen una proporción idéntica independientemente de dónde comience, r ~ 1.0594631 ^ 2 ~ 1.122462. Por cierto, 9/8 = 1,125 y 10/9 ~ 1,111. Todo lo que se necesita hacer es obtener 1/2 pasos para registrar el mismo valor dentro de la precisión de algún analizador espectral. Entonces todo está "en sintonía". En teoría, uno podría sintonizar 12TET con suficiente precisión para que un ser humano no pudiera detectar la deriva en todo el espectro del oído humano, hasta dentro de la capacidad de discriminación de tono del oído y el cerebro humanos. Esto no es posible, en mi opinión, hasta el infinito, pero es posible para un ancho de banda finito. Así que de nuevo, ¿Qué es exactamente "fuera de tono" para la escala de temperamento igual? ¿Es "fuera de tono" tu forma de decir que los tonos no se basan en armónicos de la fundamental, dominante y subdominante?

Creo que necesitas mejorar la pregunta para que sea más clara. Sin embargo, en base a las dos definiciones matemáticas de tonos, simplemente NO es posible (1) hacer que los pasos tengan la misma proporción en todos los lugares mientras se mantiene la armonía que ocurre naturalmente cuando se usan armónicos. No estoy seguro de si esto ayuda a responder a su pregunta, pero he tratado de interpretarlo fielmente.

Supongo que la frecuencia base de todas las notas en igual temperamento se obtiene de A440. Corrígeme si estoy equivocado. Por frecuencia base me refiero a la frecuencia utilizada para crear una escala mayor/menor de esa nota en el temperamento que la gente quiera. ........... . Pero antes de que existiera el temperamento igual, ¿cómo asignaba la gente diferentes frecuencias base para diferentes notas para crear una escala? Suponiendo que hubiera una frecuencia fija para una nota, como A440, también en esta situación.

Varios problemas que no han sido mencionados.

Primero, la frecuencia de vibración fundamental de una cuerda de piano no es la frecuencia de tono que escucha la gente. La evidencia experimental muestra que el tono (especialmente de las notas bajas de un piano) que la gente escucha se basa más en una combinación de los armónicos más altos de la nota que se toca (alguna combinación de frecuencia absoluta, diferencias de frecuencia y relaciones de frecuencia de algún conjunto). de armónicos superiores). Y, para cuerdas de piano, los armónicos más altos no son múltiplos enteros exactos en frecuencia del modo fundamental de la nota, debido al diámetro finito y la rigidez de las cuerdas de piano. Por lo tanto, si afina ciertas notas matemáticamente "afinadas", sonarán desafinadas para la mayoría de los humanos. Especialmente en combinación con los armónicos (ligeramente inarmónicos) de otras notas en cualquier acorde.

A continuación, una tecla de un piano a menudo no toca una sola cuerda, sino varias cuerdas. Las cuerdas en realidad intercambian energía entre ellas durante la duración de una nota, lo que modifica ligeramente el tono a medida que evoluciona la nota. Así que no hay un solo tono para sintonizar.

En tercer lugar, a medida que una nota decae, la amplitud cambia y, nuevamente, debido al diámetro y la tensión finitos, la frecuencia fundamental cambia. Entonces, ¿cuándo quieres que una nota esté afinada? Entonces no coincidirá con esa afinación en otros momentos o con diferentes dinámicas.

Etc. (Básicamente, la física de los materiales reales, más los disparos de neuronas no deterministas en las cócleas y los cerebros humanos, no produce una sola ecuación matemática simple con respecto a las frecuencias "correctas").

¿Por qué no se pueden afinar las notas de acuerdo con una frecuencia definida?
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