Tantas 'variedades' diferentes, ¿cuál es esta? Variedad algebraica de Serre

En pocas palabras, la evolución de las definiciones fundamentales de la geometría algebraica no fue impulsada por la búsqueda de nuevos objetos, sino por una mejor comprensión de los objetos clásicos. De hecho, el mayor logro de la escuela de Grothendieck fue precisamente plantear y demostrar rigurosamente una miríada de problemas clásicos. El caso ejemplar son las conjeturas de Weil. El propio Weil tuvo un toque en los fundamentos de la geometría algebraica para justificar su trabajo sobre las conjeturas. Finalmente, el problema se cerró primero con la reinterpretación de Grothendieck en términos de cohomología étale y la prueba de Deligne de esa versión.

Para ilustrar el punto que acabo de señalar, permítanme esbozar una (hi) historia de las definiciones:

1. El punto de partida es, por supuesto, el estudio del conjunto cero de algunos polinomios. Esto se remonta a Descartes y su descubrimiento (¿invención?) de la geometría analítica. Ahora, a medida que pasa el tiempo, está claro que esto funciona bien no para polinomios reales, sino para polinomios complejos. Más generalmente, dado un campo algebraicamente cerrado$k=\overline{k}$, tienes una estrecha relación entre el álgebra del anillo de polinomios$R:=k[x_1,...,x_n]$y la geometría del cero se establece en$\mathbb{A}^n_k$(Nullstellensatz de Hilbert). En particular, se encuentra que estos conjuntos cero corresponden a ideales radicales. Entonces, en una primera iteración, una variedad (afín) es el lugar geométrico cero de un ideal radical$I=\sqrt{I}$. Algunas adiciones están en orden: (a) se nota rápidamente que el álgebra del anillo de coordenadas$R/I$distingue entre componentes irreducibles determinados por primos mínimos (Scheinnullstellensatz). Así como la topología se enfoca naturalmente en espacios conectados, uno puede enfocarse en variedades irreducibles; entonces se hablará de 'conjunto algebraico' para los ideales radicales, y de 'variedades' para los primos. (b) una variación natural es considerar también subconjuntos abiertos de variedades, las variedades casi afines (c) con el espacio proyectivo de descubrimiento, toda esta discusión puede reproducirse para ideales homogéneos y verdades (cuasi) proyectivas. Una muy buena referencia para este punto de vista muy clásico es el primer capítulo de la Geometría algebraica de Hartshorne .

2. La fauna original es, entonces, una unificada más por una similitud heurística y formal que por un marco conceptual unificado. Las variedades cuasi-afines no son afines, y las cuasi-proyectivas no son proyectivas. (El contraejemplo para ambas declaraciones negativas es solo el plano afín sin el origen). Es cierto que (cuasi) afín es cuasi proyectivo, pero hay grandes ventajas al considerar la estructura afín de una variedad. Una forma de unificar estos conceptos es definiendo una variedad como el pegado de (un número finito de) variedades afines. Es, por supuesto, una definición estrictamente más general, pero todo esto fue para mejor: originalmente no se sabía que la variedad jacobiana fuera proyectiva, pero tenía gráficos afines. (De hecho, tengo la vaga idea de que Weil introdujo esta definición precisamente por la variedad jacobiana. ) Una complicación derivada de esta metodología general es la posibilidad de pegar cosas 'mal', siendo la línea afín con doble origen el ejemplo estándar. Para evitar esto, agregamos un axioma de separación que es formalmente el mismo que el axioma de Hausdorff: la diagonal$X\hookrightarrow X\times X$está cerrado. (Haga una pausa para reflexionar por qué esto no implica que una variedad sea Hausdorff).

3. A medida que avanzan las cosas, queda claro que los anillos locales deben ser parte de los datos de una variedad. Las variedades se definen como un conjunto topológico de ceros, pero hay un abismo entre lo que se piensa de un morfismo de variedades y un morfismo general continuo; Los anillos locales nos permiten precisar la distinción de una manera menos complicada que la definición más clásica (ver Hartshorne Capítulo I Exs.3.2 y 3.3, por ejemplo). La dificultad aquí es cómo organizar para organizar todos los datos. Afortunadamente, la teoría de la gavilla estaba allí para ayudar y llevar a Serre a su definición: una variedad es un espacio localmente anillado que es localmente isomorfo a una variedad afín (como un espacio localmente anillado). Por supuesto, todavía se impone el axioma de separación.

4. Se podría trazar una línea directa desde aquí hasta los esquemas y, de hecho, la mayoría de la gente lo hace. Si bien la conexión es indiscutible, realmente falta una pieza del rompecabezas. Todo lo que dijimos anteriormente se aplica a campos algebraicamente cerrados. Pero si tratamos de extenderlo a campos más generales, las cosas saldrán mal bastante rápido. El ejemplo estándar es el ideal generado por$x^2+1$en$\mathbb{R}[x]$, que no corresponde a ningún punto de la recta real, a pesar de que genera un ideal primo (de hecho maximal). Más generalmente, cualquiera de los polinomios$x^n+x^{n-1}+...+1$para$n$incluso son irreducibles, pero aún así no corresponden a ningún punto real. Corresponden, por supuesto, al complejo $n$th-raíces de la unidad. Esencialmente, para campos no algebraicamente cerrados, las 'variedades' están determinadas de alguna manera por puntos en campos más grandes. Pero tenga en cuenta que en el ejemplo de$n$th raíces tratamos sólo con extensiones algebraicas. En general, si queremos persistir en la idea de fijar un campo grande$K$sobre la cual a o geometría sobre$k$, necesitamos ir más allá de la clausura algebraica hacia alguna extensión de grado de trascendencia infinita. Weil trabajó precisamente en esta línea en su Foundations of Algebraic Geometry . Una alternativa es no fijar ningún campo (increíblemente) grande, sino tratar de realizar un seguimiento de los puntos en un campo arbitrario. Puede parecer vertiginoso hacer eso, pero había a mano un medio para hacerlo justo en el momento adecuado: podemos ver la variedad como la determinación de un functor de la categoría de campos a la categoría de conjuntos, asignando a cada campo los puntos de la variedad definida sobre ella.

5. Finalmente llegamos a Grothendieck y su escuela. Resulta que los dos puntos anteriores están en estrecha relación entre sí, especialmente cuando nos damos cuenta de que podemos realizar un seguimiento de los puntos de una variedad arbitraria$k$-álgebra. La conexión aquí son esquemas , que por un lado son espacios localmente anillados localmente isomorfos a un espectro de un anillo; pero por el otro, son representantes de funtores que obedecen a una condición de descendencia, y admiten un atlas. Bajo esta definición, no sólo unificamos todo el conjunto de ejemplos dispares (puntos 1 y 2), precisando la diferencia con la topología (punto 3), sino que incluimos incluso el caso de campos no algebraicamente cerrados (de hecho, cualquier anillo base !). El último punto es importante: el esquema$X_\mathbb{R}$correspondiente a$x^2+1$encima$\mathbb{R}$tiene un punto (cerrado), y el anillo local de ese punto tiene un campo residual$\mathbb{C}$, precisamente el campo sobre el que se divide el polinomio. Encima$\mathbb{C}$, por supuesto,$X_\mathbb{C}$tiene dos puntos cerrados, con campos de residuos$\mathbb{C}$. hay un mapa$X_\mathbb{C}\to X_\mathbb{R}$esa es una portada de Galois. Por otro lado, si$X_\mathbb{R}$tenía algún punto definido sobre$\mathbb{R}$, aparecerían como puntos fijos de la acción de Galois en$X_\mathbb{C}$(si hubiéramos tomado$x^3-1$, por ejemplo, habría en ambos$X_\mathbb{R}$y$X_\mathbb{C}$un punto extra correspondiente a$1$). De esta manera muy concreta, el esquema realiza un seguimiento de todos los puntos en todos los campos, al mismo tiempo que distingue cuáles vienen de dónde. Estoy insistiendo en el punto porque es quizás la ilustración más elemental, pero todavía poderosa, de cómo el poder de los esquemas no está tanto en ampliar nuestro conjunto de objetos, sino en aclarar el marco para los clásicos. La elegancia del marco solo crece a medida que profundizamos en el tema, con sus definiciones concisas y pruebas más simples (compare la integridad con la proyectividad , por ejemplo).

6. Dicho esto, hablar de esquemas agranda nuestra fauna, y mucho . Un ejemplo obvio son los esquemas no reducidos. Pero hay mucho que decir sobre el uso de incluso esos esquemas no clásicos como herramientas en el estudio de los clásicos. El ejemplo canónico:$k[\epsilon]/(\epsilon^2)$nos permite definir (Zarisky) espacios tangentes; de manera más general, los anillos de Artinian son la base de la teoría de la deformación. Por otro lado, estos nuevos animales aparecen de forma natural (como algunos espacios modulares, por ejemplo). Una nota al margen importante aquí es la existencia de descomposición primaria, que expresa un esquema como una unión de esquemas integrales y algunos componentes incrustados con solo nilpotentes.

7. Después de todo esto, es justo preguntarse dónde se han ido las variedades. Por elegante y útil que pueda ser el marco, parece que les hemos perdido la pista. Esto nos da nuestra definición final (¿hasta ahora?): una variedad de un esquema integral de tipo finito sobre un campo (arbitrario). De hecho, hay un funtor que incorpora la categoría de variedades en la categoría de esquemas que hace esto preciso. En el campo algebraicamente cerrado, esto está en el libro de Hartshorne; para campos más generales, está en Demazure-Gabriel's.

Parece que solo dije hechos estándar y bien conocidos, por lo que no estoy seguro de haber abordado su pregunta muy bien. Y, por supuesto, esto no debe tomarse como una descripción históricamente precisa. Pero así como escribirlo me ayudó a poner un poco de orden en mi cabeza, espero que te ayude en alguna medida.