El divisor canónico del producto de curvas suaves es amplio

Question

El divisor canónico del producto de curvas suaves es amplio

Matemáticas
teoría de la gavilla
geometría-algebraica

CarlosPeter

Dejar $C_1, C_2$ ser dos curvas (por lo que un $1$ -dimensional, k-esquema propio) que son

liso
del género $h^0(\mathcal{O}_{C_i}) \ge 2$

Considere la superficie $S:=C_1 \times C_2$ .

El objetivo principal es ver que la gavilla canónica/dualizante $\omega_S$ es amplio

El siguiente argumento no me queda claro:

Desde $C_i$ ambos son lisos, sus poleas canónicas/dualizantes son haces de Kaehler

ω_{C_{i}} := \overset{1}{⋀} Ω_{C_{i}}

$\omega _{C_i}:=\bigwedge ^{1}\Omega _{C_i}$

Considere las proyecciones canónicas

pag r_{i} : S := C_{1} \times C_{2} \to C_{i}

$pr_i: S:=C_1 \times C_2 \to C_i$

Por fórmula adjunta

ω_{S} = pag r_{1}^{*} (ω_{C_{1}}) \otimes pag r_{2}^{*} (ω_{C_{2}})

$\omega_S = pr_1^*(\omega _{C_1}) \otimes pr_2^*(\omega _{C_2})$

Ahora a mi problema:

Por qué la incrustación de Segre implica que $\omega_S$ ya es amplio?

Mis pensamientos:

Desde $\omega _{C_i}$ son amplios inducen después de tensar con $n$ morfismos suficientemente grandes $\phi_i: C_i \to \mathbb{P}^{n_i}$ .

Segre ofrece un empotramiento cerrado

{PAG}^{{norte}_{1}} \times {PAG}^{{norte}_{2}} \to {PAG}^{metro}

$\mathbb{P}^{n_1} \times \mathbb{P}^{n_2} \to \mathbb{P}^m$

¿Cómo podría implicar este hecho que $\omega _S$ es amplio?

Mi primera idea usando el argumento de concatenación falló desde $pr_i ^*(\omega _{C_i})$ no son suficientes desde $pr_i$ no son finitos.

¿Alguien tiene una idea de cómo usar aquí Sigre para probar el reclamo?

Permitir $f:E \to \mathbb{P}^1$ sea un morfismo biracional.

¿Por qué es entonces un isomorfismo?

¿Tiene algo que ver con el hecho de que $\mathbb{P}^1$ ¿es normal?

Respuestas (1)

El divisor canónico del producto de curvas suaves es amplio

kenny wong · Answer 1

Desde $\omega_{C_1}$ es amplio, existe un entero positivo $m_1$ tal que $\omega_{C_1}^{\otimes m_1}$ es muy amplio, es decir, existe un entero positivo $m_1$ y una incrustación cerrada $\phi_1 : C_1 \hookrightarrow\mathbb P^{n_1}$ tal que $\omega_{C_1}^{\otimes m_1} =\phi_1^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_1}} (1)$ .

Del mismo modo, desde $\omega_{C_2}$ es amplio, existe un entero positivo $m_2$ tal que $\omega_{C_2}^{\otimes m_2}$ es muy amplio, y existe un empotramiento cerrado $\phi_2 : C_2 \hookrightarrow \mathbb P^{n_2}$ tal que $\omega_{C_2}^{\otimes m_2} = \phi_2^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_2}}(1)$ .

Por eso

ω_{C_{1} \times C_{2}}^{\otimes ({metro}_{1} {metro}_{2})} = (ϕ_{1} \times ϕ_{2})^{⋆} (π_{1}^{⋆} O_{{PAG}^{{norte}_{1}}} ({metro}_{2}) \otimes π_{2}^{⋆} O_{{PAG}^{{norte}_{2}}} ({metro}_{1})),

$\omega_{C_1 \times C_2}^{\otimes (m_1m_2)}= (\phi_1 \times \phi_2)^\star \left( \pi_1^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_1}}(m_2)\otimes \pi_2^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_2}} (m_1)\right),$ dónde

π_{1} : P^{n_{1}} \times P^{n_{2}} \to P^{n_{1}}

$\pi_1 : \mathbb P^{n_1} \times \mathbb P^{n_2} \to \mathbb P^{n_1}$ y

π_{2} : P^{n_{1}} \times P^{n_{2}} \to P^{n_{2}}

$\pi_2 : \mathbb P^{n_1} \times \mathbb P^{n_2} \to \mathbb P^{n_2}$ son las proyecciones canónicas.

Ahora define $N: = \binom{n_1 + m_2}{n_1} + \binom{n_2 + m_1}{n_2}-1$ , y considere el mapa $\varphi : \mathbb P^{n_1} \times \mathbb P^{n_2} \to \mathbb P^{N}$ definida como la composición de la $m_2$ y $m_1$ incrustaciones veronesas

{PAG}^{{norte}_{1}} ↪ {PAG}^{(\binom{{norte}_{1} + {metro}_{2}}{{norte}_{1}}) - 1}, {PAG}^{{norte}_{2}} ↪ {PAG}^{(\binom{{norte}_{2} + {metro}_{1}}{{norte}_{2}}) - 1}

$\mathbb P^{n_1} \hookrightarrow \mathbb P^{\binom{n_1 + m_2}{n_1} - 1}, \ \ \ \ \mathbb P^{n_2} \hookrightarrow \mathbb P^{\binom{n_2 + m_1}{n_2} - 1}$ con la incrustación del Segre

{PAG}^{(\binom{{norte}_{1} + {metro}_{2}}{{norte}_{1}}) - 1} \times {PAG}^{(\binom{{norte}_{2} + {metro}_{1}}{{norte}_{2}}) - 1} ↪ {PAG}^{(\binom{{norte}_{1} + {metro}_{2}}{{norte}_{1}}) + (\binom{{norte}_{2} + {metro}_{1}}{{norte}_{2}}) - 1} = {PAG}^{norte} .

$\mathbb P^{\binom{n_1 + m_2}{n_1} - 1} \times \mathbb P^{\binom{n_2 + m_1}{n_2} - 1} \hookrightarrow \mathbb P^{\binom{n_1 + m_2}{n_1} + \binom{n_2 + m_1}{n_2}-1} = \mathbb P^{N}.$ Es bien sabido que

π_{1}^{⋆} O_{{PAG}^{{norte}_{1}}} ({metro}_{2}) \otimes π_{2}^{⋆} O_{{PAG}^{{norte}_{2}}} ({metro}_{1}) = φ^{⋆} O_{norte} (1) .

$\pi_1^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_1}}(m_2)\otimes \pi_2^\star \mathcal O_{\mathbb P^{n_2}} (m_1) =\varphi^\star\mathcal O_{N}(1).$

Así hemos exhibido una incrustación cerrada $\psi : = \varphi \circ (\phi_1 \times \phi_2) : C_1 \times C_2 \hookrightarrow \mathbb P^N$ , tal que

ω_{C_{1} \times C_{2}}^{\otimes ({metro}_{1} {metro}_{2})} = ψ^{⋆} O_{norte} (1) .

$\omega_{C_1 \times C_2}^{\otimes (m_1m_2)}=\psi^\star \mathcal O_{N}(1).$ Por eso

ω_{C_{1} \times C_{2}}^{\otimes (m_{1} m_{2})}

$\omega_{C_1 \times C_2}^{\otimes (m_1 m_2)}$ es muy amplio y

ω_{c_{1} \times C_{2}}

$\omega_{c_1 \times C_2}$ es amplio

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CarlosPeter

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kenny wong

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