Primero, ¿alguien ha visto algo como esto antes?

Sí, y de hecho los patrones interesantes que surgen aquí son más que una simple curiosidad matemática, pueden interpretarse en un contexto físico .

Mecánica estadística

En un sistema de espín simple , digamos el modelo de Ising , un conjunto discreto de puntos se organiza en una cuadrícula. En física, nos gusta definir la energía del sistema por el hamiltoniano , que da la energía de cualquier microestado en particular. En este sistema, si los espines están alineados, forman un enlace. Esta favorable y la energía es negativa. Si están desalineados, la energía es positiva. Consideremos un sistema simple de dos puntos, adyacentes entre sí. Además, deje que cada sitio apunte hacia arriba (1) o hacia abajo (-1). Para un sistema tipo Ising escribiríamos el hamiltoniano como:

dónde$\sigma_i$es el giro de la$i$th punto y la suma se ejecuta sobre todos los pares de sitios adyacentes.$J$es la fuerza del vínculo (que podemos establecer en uno para nuestro ejemplo).

En nuestro sistema simple solo tenemos cuatro estados posibles:

0 - 0     H = -J
1 - 0     H =  0
0 - 1     H =  0
1 - 1     H = -J

Ahora podemos escribir la función de partición $\mathcal{Z}$, término que engloba toda la información del hamiltoniano desde la perspectiva de la mecánica estadística:

Aquí la suma se ejecuta sobre todos los (micro)estados posibles del sistema. La función de partición es realmente útil ya que está relacionada con la energía libre$A = -kT \ln{\mathcal{Z} }$. Cuando la función de partición llega a cero, la energía libre explota y esto significa un cambio de fase , un evento físicamente interesante.

¿Qué pasa con nuestro sistema simple?

Notarás que cambié$x=\exp({\beta J})$para hacer las cosas un poco más ordenadas. También puede notar que$\mathcal{Z}$parece un polinomio . Lo que significa que si queremos encontrar los eventos interesantes en el sistema, encontramos los ceros de la función de partición$\mathcal{Z}=0$. Este cero corresponderá a una temperatura particular$T$. En este caso la única temperatura que obtenemos es una compleja...

¿Temperaturas complejas?

Antes de descartar la idea de que una temperatura que no esté en la recta numérica real es imposible (y que$T<0$también es extraño), veamos a dónde nos lleva esto. Si continuamos agregando sitios a nuestro pequeño sistema simple, nuestro polinomio se volverá un poco más complicado y encontraremos más raíces en el plano complejo. De hecho, a medida que tomamos cada vez más raíces, los puntos parecen formar un patrón, muy parecido al patrón que ha mostrado arriba .

Sin embargo, para un sistema de espín finito, nunca encontrará un cero en el eje real...

¿Alguien tiene alguna idea de lo que sucede con la solución establecida como n→∞?

En el límite termodinámico (que corresponde a un número infinito de sitios) los puntos se vuelven densos en el plano. En este límite los puntos pueden tocar el eje real (correspondiente a un cambio de fase en el sistema). Por ejemplo, en el modelo 2D de Ising, los puntos tocan el eje real (y forman un hermoso círculo en el plano complejo) donde el sistema experimenta una transición de fase de ordenado a desordenado.

Trabajo prioritario

El estudio de estos ceros (desde una perspectiva física) es fascinante y comenzó con los artículos seminales de Yang y Lee :

Yang, CN; Lee, TD (1952), "Teoría estadística de ecuaciones de estado y transiciones de fase. I. Teoría de la condensación", Physical Review 87: 404–409, doi: 10.1103/PhysRev.87.404

Lee, TD; Yang, CN (1952), "Teoría estadística de las ecuaciones de estado y transiciones de fase. II. Gas de celosía y modelo de Ising", Physical Review 87: 410–419, doi: 10.1103/PhysRev.87.410

Que son sorprendentemente accesibles. Para pasar un buen rato, busque imágenes de ceros de Yang-Lee. Además, puede extender la fugacidad al plano complejo, estos se denominan ceros de Fisher y crean patrones aún más complejos.

$\lim_{n\to\infty} f_n(x)/n$existe para$x$en el disco unitario abierto, y es igual a la función generadora de partición$P(x)$. La convergencia es uniforme en bolas unitarias cerradas.

Para probar esto, usamos el siguiente lema:

Dejar$a_{n,m}$Sea una secuencia doble de números tal que$a_m= \lim_{n\to \infty}a_{n,m}$existe y$|a_{n,m}| \leq |a_m|$. Dejar$R$Sea el radio de convergencia de$\sum_m a_m x^m$. Entonces para$x<R$, tenemos:

y la convergencia es uniforme en subconjuntos compactos.

Prueba del lema: Solo necesitamos intercambiar la sumatoria y el límite. Esto se sigue del teorema de la convergencia dominada, porque$a_{n,m}x^m$está delimitado por$|a_m x^m|$, que es sumable siempre que$|x|<R$. Porque$\sum_m |a_m x^m|$está acotado uniformemente en subconjuntos compactos del disco abierto de radio$R$, la convergencia es uniforme allí.

Ahora para obtener el resultado queremos que el coeficiente de$x^m$en$f_n(x)/n$converge y está acotado por el número de particiones de$m$. Para hacer eso, solo necesitamos una interpretación combinatoria para ese coeficiente. Una forma de ver la fórmula de conteo de puntos para Grassmanian es en términos de celdas de Schubert, una$m$La celda de Schubert -dimensional contiene$q^m$puntos sobre$\mathbb F_q$. Debido a que Grassmanian se descompone en celdas de Schubert, esto da una fórmula polinomial para el número de puntos. El coeficiente de$q^m$seria el numero de$m$Células de Schubert bidimensionales. A partir de la descripción explícita, es fácil ver que, en el Grassmanian de$k$-aviones en$n-k$-espacio dimensional, esto es igual al número de particiones de$m$con como mucho$k$partes y con cada parte como máximo$n-k$.

resumiendo$k$de$0$a$n$, obtenemos el coeficiente de$x^m$, que es como mucho$n+1$veces el número de particiones de$n$. (De hecho$n-1$funciona a menos$m=0$, y el error de$m=0$es despreciable.) Para$n$grande con respecto a$m$, para la mayoría$k$entre$0$y$n$, tenemos$k$y$n-k$ambos son más grandes que$m$, entonces el coeficiente de$x^m$en el$k$el término es igual al número de particiones de$m$. Por lo tanto, al promediar esos términos, el límite es el número de particiones de$m$. Entonces las hipótesis del lema se satisfacen con$a_m=$la función de partición, y la conclusión también lo es.

Esto también explica por qué las raíces parecen vivir en un anillo, porque la función de partición no tiene raíces en el disco unitario abierto, como$f_n(x)/n$converge a él, el valor absoluto de la raíz más pequeña debe converger a$1$.

Pero no hemos terminado, porque todavía no hemos explicado por qué no hay raíces con norma grande. Lamentablemente, no existe una distribución límite para grandes$x$. Sin embargo, esto es fácil de solucionar - por$x$mayor que$1$, simplemente dividimos el polinomio por el término principal:$x^{\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor}$. Entonces reclamo el nuevo, normalizado$f_n$, converge a uno de dos límites, dependiendo de si$f$es par o impar.

Podemos usar esencialmente la misma estrategia para calcular estos límites. Después de cambiar las variables a$y=1/x$, vemos que los coeficientes de$f_n(y^{-1}) / y^{ \deg(f_n)}$convergen a un límite dependiendo de si$n$es par o impar, y están acotados por este límite.

Para obtener esto, solo usamos el hecho de que el$k$el sumando de$f_n$es un simétrico: al invertir el orden de sus coeficientes se obtiene el mismo polinomio. El grado de la$k$el término es$k(n-k)$. Nos interesa el coeficiente de los términos cercanos al grado más alto. Estos vienen solo de$k$cerca de$n/2$. La contribución de la$k$el término es$y^{\lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor -k (n-k)}$veces el polinomio para el número de$k$-espacios dimensionales de un$n$-espacio vectorial dimensional. Por la discusión anterior, los coeficientes de este polinomio convergen a la función de partición.

Entonces los coeficientes invertidos de$f_n$convergen a los coeficientes de:

($n$incluso)

($n$extraño)

En otras palabras, es una función theta multiplicada por la función de partición. Esta serie de potencias también tiene radio de convergencia$1$, y, creo, sin raíces, y sus coeficientes limitan los coeficientes de$f$, entonces por la misma lógica obtenemos convergencia.

Entonces la conclusión final es que todas las raíces están contenidas en un anillo que converge en un círculo de radio$1$. En teoría, incluso se podría obtener un límite efectivo para este anillo.

Un esquema recursivo más agradable (?) (para los polinomios, aún no para las raíces) es el siguiente. Inicializamos$f_0(x)$y$f_1(x)$con constantes en serie (notación: Pari/GP) :$f_0=\operatorname{Ser}(1)$y$f_1 = \operatorname{Ser}(2)$. Luego procedemos recursivamente:

[actualización]
Para los coeficientes$a_{r,c}$obtenemos

Los grados de los polinomios son

Solo quiero subirme al carro para hacer una observación que no creo que nadie haya hecho hasta ahora, y que creo que es interesante (aunque solo sea por haber sido pasada por alto). La formula

que Gottfriend y Aleks han encontrado para la función de limitación, debería saltar a la vista de cualquiera que haya trabajado con formas modulares. De hecho, la función

se conoce como la función eta de Dedekind . Es (más o menos) una forma modular de peso$1/2$y nivel uno. Su potencia vigésimo cuarta se conoce como el discriminante modular y es una función importante en la teoría de las curvas elípticas.

Por qué la función eta de Dedekind debería aparecer en este contexto, no tengo ni idea.

Quería hacer un comentario rápido que está implícito en los comentarios (particularmente el enlace de Steven Stadnicki a John Baez ). Cuando se considera una familia específica de funciones con una forma interesante, es tentador concluir que este comportamiento es un patrón interesante sobre esta familia particular de ejemplos . Lo que sugieren los cálculos en el sitio de Baez es que puede ser que este comportamiento sea simplemente el comportamiento de una familia aleatoria de polinomios . Es decir, lo que está viendo puede no ser algo acerca de que esta familia esté lo suficientemente estructurada, sino más bien una forma en la que esta familia es lo suficientemente aleatoria.

Hasta ahora tengo una reformulación en términos de q-binomials, lo que podría facilitar la comprensión del resultado. Primero reformulé su suma de productos como

Hay alguna literatura interesante sobre q -binomials en línea ( wikipedia , mathworld ,...), tal vez puedas encontrar algo que te permita concluir sobre las raíces de polinomios de esta manera con más facilidad...

La suma anterior$f_n(x)$también se puede factorizar:

Esta no es una respuesta completa, pero hice una observación interesante. Dejar

de modo que$f_n(x) = \sum_{m=0}^n g_{n,m}(x)$. Queremos examinar el comportamiento de$g_{n,m}(x)$como$n\to \infty$. Hice una tabla de estos para varios$n$y$m$en mathematica y noté que probablemente cada uno converge en algunas funciones:$g_{n,m}(x) \to g_m(x)$como$n \to \infty$. Asumiendo$|x|<1$, corrí un límite como$n \to \infty$de la razón de dos consecutivos$g$'s y tengo

(Requiere prueba todavía). Desde$g_0(x) = 1$obtenemos la formula

Creo que uno podría esperar que como$n\to\infty$, eso

pero, por supuesto, esto probablemente no sucederá, porque al menos tampoco$f_n$ni esta función en el RHS anterior converge; por ejemplo, el coeficiente constante se vuelve ilimitado. Sin embargo, aquí hay algo en lo que pensar. Tenemos la siguiente identidad por Euler

que tiene que ver con las particiones. Tal vez hay una manera de modificar$f_n(x)$eso hará que converja correctamente. Por ejemplo, dividir$f_n(x)$por$n+1$mantiene el coeficiente constante en 1.

EDITAR: Wow, esto es una explosión del pasado y tal vez sea tarde en la noche o algo así, pero decidí mirar la representación de la serie de$F_n(x)/n$dónde

Estos coeficientes se acercan sospechosamente a los números

que puede reconocer como el número de particiones de$n$para$n = 0, 1, 2 ,3,\ldots$. Como tal, probablemente sea seguro conjeturar que como$n \to \infty$

dónde$p(n)$es el número de particiones de$n$y$P(x)$es su función generadora.