Automorfismo de grupo algebraico semisimple de orden 2

estaré trabajando$\mathbb{C}$.

Primero nos fijamos en el álgebra de mentiras de$H$, llámalo$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g} := Lie(G)$. Uno sabe por suposición que$\mathfrak{h}$es el punto fijo de$d\sigma$. También es un hecho que uno puede encontrar una involución cartan de$\mathfrak{g}$decir$\theta$que viaja con$d\sigma$. Por lo tanto, un cálculo fácil muestra que$\mathfrak{h}$es estable bajo$\theta$. Esto implica que$\mathfrak{h}$es reductivo.

Esto a su vez implica que$\mathfrak{h} = [\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] \oplus \mathfrak{z}$dónde$\mathfrak{z}$consiste en endormorfismo semisimple bajo cualquier incrustación de$\mathfrak{h}$en$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$. De aquí se sigue que$R_u(H) = 0$de lo contrario habríamos obtenido algún ideal nilpotente en$\mathfrak{h}$que claramente no existe. Por eso$H^0$es reductivo y por lo tanto equivalente$H$es reductivo. (Observe el lema 3.1 en el documento titulado "Subgrupos totalmente reducibles" de GDMostow aquí usamos el hecho de que en char 0 un grupo es reductivo si es totalmente reducible).

Ahora uno sabe que el componente conectado del normalizador de un grupo reductor conectado es reductor y, por lo tanto,$N_G(H^0)^0$es reductivo y por lo tanto$N_G(H^0)$es reductivo (mira esto https://mathoverflow.net/questions/114243/is-the-normalizer-of-a-reductive-subgroup-reductivo ). Pero$N_G(H^0) \supset N_G(H)$, y claramente$N_G(H^0) \supset H$y por lo tanto$N_G(H^0) \subset N_G(N_G(H^0)) \subset N_G(H)$. Por eso$N_G(H) = N_G(H^0)$es reductivo.

Ahora$(Ad(N_G(H^0))^0 = Ad(N_G(H^0)^0)$y sabemos (corolario 14.11 en los Grupos Algebraicos Lineales de Borel) que la imagen de un grupo reductivo es reductiva y por lo tanto$Ad(N_G(H))^0$es reductivo y por lo tanto$Ad(N_G(H))$es reductivo.

Tenga en cuenta que$K^0 = Ad(N_G(H))^0$(como$Ad(N_G(H))$es de índice finito en$K$) que era reductivo y por lo tanto$K$es reductivo.