Omisión del axioma de localidad en algunas definiciones de gavillas

Actualmente estoy leyendo sobre la teoría de la gavilla y estoy confundido acerca de las posibles definiciones contradictorias de una gavilla. El común que he encontrado en los cursos de Geometría Algebraica y también en Wikipedia es el siguiente: Sea$\mathcal{F}$ser un prehaz de conjuntos en un espacio topológico$X$,$\mathcal{F}$es una gavilla si cumple dos condiciones adicionales:

1. Localidad: Let$U = \bigcup_i U_i$ser una cubierta abierta,$s, t \in \mathcal{F}(U)$ser secciones tales que$\rho_{U_i}(s) = \rho_{U_i}(t) \forall i$,entonces$s=t$
2. Pegado: Deja$U = \bigcup_i U_i$,$s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ser secciones tales que$\rho_{U_i\cap U_j}(s_i) = \rho_{U_i\cap U_j}(s_j) \forall i,j$, entonces$\exists s \in \mathcal{F}(U)$con$\rho_{U_i}(s) = s_i \forall i$

Sin embargo, en el proyecto de pilas , solo se menciona la condición de pegado.

¡Me preguntaba si había una razón para esta discrepancia y agradecería cualquier ayuda!