¿Cuál es la relación entre la geometría algebraica clásica, la geometría algebraica moderna y las curvas reales?

Es un tema común en matemáticas que en lugar de estudiar objetos geométricos (como espacios topológicos) directamente, adjuntamos invariantes algebraicas a estos espacios (como grupos de homología u homotopía) y estudiamos estos objetos algebraicos en su lugar. A veces, esta correspondencia es bastante fuerte: por ejemplo, la estructura suave en una variedad suave (real)$M$se puede recuperar del anillo de funciones suaves

$$\mathcal{C}^\infty(M) = \{f : M \to \mathbb{R} \mid f \text{ is smooth}\} \, .$$ Entonces, en lugar de estudiar la variedad en sí, podemos estudiar funciones en la variedad que son adecuadamente agradables. En el caso de un conjunto algebraico afín $X$, "agradable" significa funciones polinómicas regulares. (También hay funciones racionales, pero me centraré en las funciones regulares). El conjunto de tales funciones forma un anillo, llamado anillo de coordenadas de la $X$, que denotamos $\Gamma(X)$.

Por ejemplo, considere el círculo unitario$C: x^2 + y^2 = 1$en el plano afín$\mathbb{A}^2$sobre un campo algebraicamente cerrado$k$(que supondremos tiene característica cero, por simplicidad). Tenga en cuenta que las funciones

$$f = x+ y \qquad \text{and} \qquad g = x + y + x^2 + y^2 - 1$$ dar el mismo valor en todos los puntos $(x,y)$en $C$desde $x^2 + y^2 - 1 = 0$en $C$. De hecho, dos polinomios cualesquiera que difieran en un múltiplo de $x^2 + y^2 - 1$inducir la misma función en $C$. A partir de esto, concluimos el anillo de coordenadas de $C$es $$\Gamma(C) = \frac{k[x,y]}{(x^2 + y^2 - 1)} \, .$$

Las propiedades del conjunto algebraico se reflejan en las propiedades del anillo de coordenadas. Por ejemplo,$X$es irreducible (es decir, no se puede escribir como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños) iff$\Gamma(X)$es un dominio integral. La dimensión de$X$es igual a la dimensión de Krull de$\Gamma(X)$. Nullstellensatz de Hilbert implica que los puntos (cerrados) de un conjunto algebraico$X$están en correspondencia biyectiva con los ideales máximos de$\Gamma(X)$.

Así tenemos un mapa

$$\mathcal{F}: \left\{\text{affine algebraic sets}\right\} \to \left\{\text{finitely generated $k$-algebras}\right\} \, .$$ Esta asociación es (contravariantemente) funcional: dado un mapa $\varphi: X \to Y$de conjuntos algebraicos, hay un mapa inducido $\varphi^*: \Gamma(Y) \to \Gamma(X)$de sus anillos de coordenadas. (De hecho, esto da una anti-equivalencia de categorías entre conjuntos algebraicos afines y los llamados conjuntos afines reducidos). $k$-álgebras.) Nuevamente, las propiedades del mapa $\varphi$se reflejan en los de $\varphi^*$. Por ejemplo, $\varphi^*$es inyectiva iff $\varphi$es dominante, es decir, tiene una imagen densa. Si $\varphi^*$es una extensión integral de anillos, entonces $\varphi$es finito , lo que en particular implica que sus fibras tienen cardinalidad finita.

Tal como cabría esperar, el anillo local en un punto codifica las propiedades locales del conjunto algebraico. Suponer$X$es una curva Entonces$X$es suave en un punto$x$(con el ideal máximo correspondiente$\mathfrak{m}$) si el anillo local$\Gamma(X)_\mathfrak{m}$es integralmente cerrado, lo que equivale a ser un dominio de valoración discreto. (Hay muchas más equivalencias; consulte aquí para obtener más información). Para encontrar el orden de desaparición de una función$f$en un punto$x$, podemos calcular su valoración en el anillo local$\Gamma(X)_\mathfrak{m}$. (Vea aquí un ejemplo).

Esta respuesta ya es larga, ¡pero me he dejado muchas!

• No he discutido las funciones racionales y el campo que forman, llamado campo de función.

• si el campo$k$tiene característica$p \neq 0$, el anillo de coordenadas se vuelve más complicado porque$x^p - x = 0$para todos$x \in \mathbb{F}_p$. Si$k$no es algebraicamente cerrado, las cosas también son más complicadas, ya que el Nullstellensatz ya no es cierto. Por ejemplo,$(x^2 + 1)$es un ideal maximal en$\mathbb{R}[x]$, pero realmente corresponde a los puntos (órbita de Galois de)$\{i, -i\}$. Los geómetras aritméticos estudian conjuntos algebraicos definidos sobre$\mathbb{Q}$o un campo numérico, en el que la teoría de Galois juega un papel aún más importante.

• Solo he escrito sobre conjuntos algebraicos afines, pero al escuchar la palabra "variedad", creo que la mayoría de la gente piensa primero en variedades proyectivas. Cada variedad proyectiva está cubierta por conjuntos abiertos afines, por lo que estudiar variedades afines sigue siendo importante, pero ahora hay complicaciones adicionales cuando tratamos de "pegar" objetos que existen en estos abiertos afines para obtener un objeto definido globalmente. Además, hay muy pocas funciones regulares (globalmente) en una variedad proyectiva: solo las funciones constantes. Por lo tanto, nos vemos llevados a relajar nuestro requisito de "bondad" y, en cambio, considerar funciones racionales, que pueden tener polos. Esto también nos lleva a las poleas: dado un conjunto abierto$U$de una variedad proyectiva$X$, consideramos el anillo$\mathcal{O}_X(U)$de funciones racionales que son regulares (es decir, sin polos) en$U$.

• Todo esto sigue siendo geometría algebraica "clásica", lo que significa que no he discutido las poleas, los espacios anillados localmente o los esquemas. Para la geometría algebraica clásica, recomiendo la Geometría algebraica básica de Shafarevich, vol. 1 . Para la geometría algebraica desde una perspectiva teórica de esquemas, creo que las notas de Vakil son realmente las mejores, aunque también te pueden gustar The Geometry of Schemes de Eisenbud y Harris . Para un término medio entre las dos perspectivas, puede consultar las notas de Milne .