Transformar curvas algebraicas

Para i = 1 , 2 , 3 dejar PAG i ser polinomios reales tales que PAG 3 es positivo. Definir el mapeo

F ( X , y ) = ( X + PAG 1 ( X , y ) 1 + PAG 3 ( X , y ) , y + PAG 2 ( X , y ) 1 + PAG 3 ( X , y ) ) , X , y ∈ R .

Hace F mapear curvas algebraicas a curvas algebraicas?

Nota : Numéricamente, investigué muchos ejemplos no triviales y todos parecían algebraicos nuevamente.

Probablemente sí, debido a cómo se realiza la 'implicitización de curvas paramétricas' usando resultantes. Aquí, construyes un sistema de ecuaciones polinómicas, derivas su matriz de Sylvester y obtienes la ecuación algebraica como determinante de esta matriz.

Respuestas (1)

Explicando mi comentario:

Suponga que la curva algebraica original se da en forma paramétrica

X ( t ) = r 1 ( t ) ,       y ( t ) = r 2 ( t ) ,
dónde r i son funciones racionales. Aplicar F a ella le da
F ( X ( t ) , y ( t ) ) = ( tu , v ) = ( r 1 ( t ) + r 3 ( t ) 1 + r 5 ( t ) , r 2 ( t ) + r 4 ( t ) 1 + r 5 ( t ) ) .

Esto se puede reescribir como un sistema de ecuaciones polinómicas en t . Cálculo del determinante det de su matriz de Sylvester da una ecuación polinomial det ( tu , v ) = 0 , tal que ( tu , v ) es de nuevo una curva algebraica.

Problema aquí: hasta donde yo sé, una curva algebraica es racionalmente parametrizable si y solo si su género es igual a cero.

Transformar curvas algebraicas
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v