T-Dualidad entre la teoría de cuerdas tipo HE y la teoría de cuerdas tipo HO

Mi pregunta es sobre la dualidad T entre las 2 teorías de cuerdas tipo H.

Sé que las teorías de cuerdas Tipo II son T-dual entre sí porque la T-Dualidad cambia el signo de la Matriz Gamma, por lo que

T : PAG OSG − ↔ PAG OSG +

Dado que la teoría de cuerdas de tipo IIB emplea las mismas proyecciones OSG en los motores izquierdo y derecho, mientras que la teoría de cuerdas tipo IIA emplea las diferentes proyecciones OSG en los motores izquierdo y derecho, las 2 teorías son T-Dual entre sí.

Sin embargo, cuando uno considera las T-Dualidades en la teoría de cuerdas Tipo HE y las teorías de Cuerdas Tipo HO, ¿por qué son T-Duales entre sí?

Supongo que tal vez los interruptores T-Duality Girar ⁡ ( 32 ) / Z 2 y mi ( 8 ) × mi ( 8 ) , por lo tanto, las teorías de T-Dual entre sí. Pero si es así, ¿por qué? ¿Por qué T-Duality cambia Girar ⁡ ( 32 ) / Z 2 y mi ( 8 ) × mi ( 8 ) ?

Gracias de antemano.

Respuestas (1)

Uno no debería imaginar que la dualidad T entre las dos cadenas heteróticas sea una Z 2 como en el caso de la dualidad T de las teorías de cuerdas de tipo II. En la teoría de cuerdas tipo II, solo hay un campo escalar relevante, el radio del círculo que produce la dualidad T, y se revierte R → 1 / R bajo T-dualidad.

En el caso heterótico, es más complicado porque en la dualidad T participan más campos escalares. En lugar de un Z 2 mapa que actúa sobre un campo escalar, uno debe ajustar correctamente los módulos, especialmente las líneas de Wilson que genéricamente rompen el grupo de calibre 10D para tu ( 1 ) dieciséis , y encontrar una identificación entre los puntos del espacio de módulos de las dos teorías de cuerdas heteróticas: hay una teoría al final.

Una razón fundamental por la que se mantiene la dualidad T es que se pueden definir las teorías de cuerdas heteróticas en la representación bosónica, utilizando una red de 16 dimensiones Γ dieciséis cual es la red de pesos de S pag i norte ( 32 ) / Z 2 , y Γ 8 ⊕ Γ 8 cuál es la red de raíces de mi 8 × mi 8 .

También se puede describir la compactación de un círculo en términos de celosías. Corresponde a sumar ( ⊕ ) la red Γ 1 , 1 de la firma indefinida a la red original. Las dimensiones adicionales 1+1 corresponden al bosón compactado que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha (del círculo), respectivamente.

Ahora, el hecho matemático clave es que el retículo autodual uniforme de 17+1 dimensiones existe y es único, lo que realmente significa

Γ dieciséis ⊕ Γ 1 , 1 = Γ 8 ⊕ Γ 8 ⊕ Γ 1 , 1
Incluso las redes autoduales en pag + q dimensiones (firma) existen siempre que pag − q es múltiplo de ocho y si ambos pag y q son distintos de cero, la red es única.

Es único hasta una isometría, una especie de transformación de Lorentz, y así es como también debe entenderse la identidad anterior. Así que hay una forma de redefinir linealmente los bosones 17+1 en la hoja del mundo de cuerdas heteróticas de modo que una base que sea natural para el mi 8 × mi 8 cadena heterótica se transforma en la S pag i norte ( 32 ) / Z 2 cadena o viceversa. El bosón compactado debe incluirse de manera no trivial en la transformación: la transformación de Lorentz de 17+1 dimensiones que hace que la dualidad T se manifieste mezcla los 16 bosones quirales con el bosón 1+1 del círculo compactado.

Se puede encontrar una derivación diferente de la equivalencia, por ejemplo, en el libro de Polchinski. Uno puede comenzar con una de las cuerdas heteróticas y ajustar cuidadosamente las líneas de Wilson para ver que en un punto especial, la simetría se rompe para tu ( 1 ) 17 + 1 se mejora una vez más al otro grupo de indicadores.

Gracias por la respuesta. Entonces, ¿eso significa que T-Duality intercambia una red de pesos y una red de raíces?
Este material es profundo. Me encantaría tener algo de tiempo para leer más sobre estas teorías. @Luboš Motl, ¿sigues trabajando a tiempo completo en esta área?
Estimado @Killercam, estoy trabajando en cosas relacionadas, pero lo llamaría medio tiempo.
Estimado @dimension10, es un accidente que uno de los retículos de las teorías heteróticas se llame "retículo raíz" y el otro "retículo de peso". La red de raíces de mi 8 es su red de peso, también, porque la representación adjunta es la representación fundamental en el mismo momento. La dualidad que intercambia redes de raíces y redes de peso es otra cosa, una relación más general, menos intrínsecamente fibrosa, que la dualidad T.
Estos dos retículos son, para cualquier grupo de Lie, duales entre sí en el sentido de "espacios vectoriales" y "espacios vectoriales duales", es decir, vectores y formas. La red de pesos, que contiene los pesos de todas las representaciones, tiene "productos internos" (en realidad acciones de una forma en un vector) que son enteros con cualquier vector en la red raíz, lo que en última instancia se deriva del hecho de que todas las representaciones (= pesos) son lo que puede transformarse bajo todos los generadores de los grupos de Lie de una manera que es de un solo valor cuando se extiende a todo el grupo de Lie. Es un resultado un poco abstracto descrito en libros sobre álgebras de Lie.
T-Dualidad entre la teoría de cuerdas tipo HE y la teoría de cuerdas tipo HO
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