¿Toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico no completo es convergente?

Una sucesión es convergente si y solo si tiene un límite, así que no, las sucesiones de Cauchy no son necesariamente convergentes en espacios no completos. Sin embargo, existe la noción de una terminación . Dado un espacio métrico$X$una finalización de$X$es un espacio métrico completo$\hat X$en el cual$X$está densa e isométricamente incrustado. Resulta que cada espacio métrico tiene una terminación única (hasta la biyección isométrica). Entonces, en este sentido, una sucesión de Cauchy no convergente en$X$convergerá en$\hat X$. Sin embargo, esto no es trivial y es mejor no usar frases como "converge pero en otro espacio".

No. Por definición, el límite de una secuencia debe ser un elemento del espacio métrico.

Recuerde la definición: Decimos que una sucesión$\{x_n\}$en un espacio métrico$(X, d)$converge a$L$si por cada$\epsilon > 0$, podemos encontrar un$N$tal que$d(x_n, L) < \epsilon$cuando$n \geq N$.

si el limite$L$no estaban en$X$, la expresion$d(x_n, L)$no tendría ningún sentido porque nuestra métrica se define solo para elementos de$X$.

En otras palabras, si el límite no estuviera en el espacio, no sabríamos medir la distancia entre el límite y los elementos de la sucesión. Entonces no podríamos decir que los elementos se están acercando al límite, ¡porque nunca sabríamos qué tan lejos están!