Secuencia de Cauchy no convergente en el espacio métrico general

Question

Secuencia de Cauchy no convergente en el espacio métrico general

Matemáticas
análisis real
secuencias de cauchy
convergencia divergencia

b_pcakes

Sé que una secuencia en $\mathbb{R}^d$ es Cauchy si es convergente, y también las sucesiones convergentes son Cauchy en un espacio métrico general. ¿Cómo falla lo contrario en un espacio métrico general? En otras palabras, ¿qué parte de la prueba que Cauchy secuencia en $\mathbb{R}^d$ son convergentes no se pueden generalizar a un espacio métrico arbitrario?

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Secuencia de Cauchy no convergente en el espacio métrico general

5xum · Answer 1

La secuencia

{\frac{1}{norte}}_{norte = 1}^{\infty}

$\left\{\frac1n\right\}_{n=1}^\infty$ es Cauchy, pero no convergente, en

(0, \infty)

$(0,\infty)$ equipado con la métrica estándar.

Gracias, este es un gran ejemplo, pero no exactamente lo que estaba pidiendo. Espero entender por qué la prueba falla en el caso general.
@b_pcakes Bueno, ¿intentaste aplicar la prueba a mi ejemplo?

Secuencia de Cauchy no convergente en el espacio métrico general

b_pcakes

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5xum

b_pcakes

5xum

b_pcakes

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

¿Por qué definimos la completitud de un espacio por la convergencia de una secuencia de Cauchy en lugar de una secuencia normal?

Si {an}{an}\{a_n\} y {bn}{bn}\{b_n\} son Cauchy, entonces {an+bn}{an+bn}\{a_n + b_n\} es Cauchy.

¿Toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico no completo es convergente?

¿Por qué la constante que limita por arriba cada sucesión de Cauchy es más grande que la constante que limita la sucesión Convergente?

Supongamos que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n es Cauchy y que la subsecuencia {xnk}k{xnk}k\{x_{n_k}\}_k converge a xxx. Demuestre que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n converge a xxx.

Cómo mostrar que una sucesión de sucesiones de Cauchy converge

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.