Si {an}{an}\{a_n\} y {bn}{bn}\{b_n\} son Cauchy, entonces {an+bn}{an+bn}\{a_n + b_n\} es Cauchy.

Arreglar$\epsilon > 0$.

$a_n$y$b_n$son Cauchy, entonces$\exists N_1, N_2$tal que$|a_m - a_n| < \epsilon/2$cuando$m, n > N_1$y$|b_m - b_n| < \epsilon/2$cuando$m, n > N_2$.

Elegir$N = \max(N_1, N_2)$, entonces nosotros tenemos

cuando sea$m, n > N$, entonces$\{a_n + b_n\}$es Cauchy.

En primer lugar, ha cometido un error: debe presentar$N_1$y$N_2$para que por cualquier$m_1,n_1 \geq N_1$tienes la propiedad y similar para el otro.

Habiendo arreglado eso, si tienes$|a_m + b_m - a_n - b_n| < 2 \varepsilon$para$m,n \geq N$, entonces técnicamente has terminado, ya que$2 \varepsilon$puede hacerse arbitrariamente pequeño haciendo$\varepsilon$arbitrariamente pequeño.

Típicamente por estética, dejas$\varepsilon$sea ​​el número pequeño para la cantidad convergente de interés y luego elija nuevos números pequeños para lo que contribuye desde allí. Aquí puedes tomar$\varepsilon$ser tu pequeño número para$a_n+b_n$y luego elige$N_1,N_2$para que consigas$\varepsilon/2$-cercanía para$a_n$y$b_n$respectivamente. Esto es válido porque la definición que$a_n$y$b_n$Son Cauchy dice que puedes elegir lo que sea"$\varepsilon$" quieres, así que puedes elegirlo en particular para que sea$\varepsilon/2$(dónde$\varepsilon$ya estaba especificado).

Tu puedes elegir$\epsilon_1$y$\epsilon_2$para ser lo que quieras, así que elige que sean$\frac{\epsilon}{2}$. Elegir un valor para$\epsilon_1$determina un valor para$m_1$y$n_1$, pero puede comenzar con cualquier valor para$\epsilon_1$(y lo mismo para$\epsilon_2$).

La declaración de que${a_n}$es Cauchy es que para cualquier $\epsilon$ existe un$M$y$N$tal que para cualquier $n>N$y$m>M$, tenemos$|a_m - a_n| < \epsilon$. Los cuantificadores allí son importantes:$M$y$N$depende de la elección de$\epsilon$. Pero una vez que sepa que la secuencia es Cauchy, puede elegir cualquier$\epsilon$, y eso te dará una$M$y$N$. Entonces, típicamente en estas demostraciones, cuando las haces, comienzas con lo que hiciste, llegas al final y miras el límite que encontraste ($\epsilon_1 + \epsilon_2$), y luego averigüe lo que necesitaba para empezar, por ejemplo, que$\epsilon_1 < \frac{\epsilon}{2}$y$\epsilon_2 < \frac{\epsilon}{2}$

puedes dejar$\epsilon' = 2\epsilon$para completar la prueba. Sin embargo, dado que en NA la gente (por la razón que sea) insiste en usar$\epsilon$al final de las demostraciones, también podría completar la demostración diciendo algo como "Por último, intercambiando$\epsilon$y$\epsilon'$completa la demostración".