¿Por qué definimos la completitud de un espacio por la convergencia de una secuencia de Cauchy en lugar de una secuencia normal?

Si entiendo correctamente, lo que estás haciendo es postular un "espacio ambiental completo" existente$Y$dentro del cual el espacio$X$te preocupas por la vida. Es decir, quieres decir

$(*)\quad$ $X$es completo si cada$\color{red}{\mbox{convergent}}$secuencia de elementos de$X$converge a un elemento de$X$

Sin embargo, esto tiene un problema serio: ¿qué significa el rojo "convergente"? Si tomamos eso como convergente en el sentido de$X$, entonces todo espacio es completo en este sentido.

Para hacer$(*)$trabajo como una noción de integridad, necesitamos tener un espacio ambiental$Y$que estamos usando como nuestra guía para saber qué secuencias "realmente convergen". En muchos casos está claro lo que$Y$debería ser - por ejemplo (con la métrica habitual) para$X=\mathbb{Q}$claramente queremos$Y=\mathbb{R}$- pero en general esto nos lleva por un camino peligroso: para un espacio métrico realmente extraño$X$, ¿cómo harías para encontrar el derecho$Y$?

En cambio, queremos definir la completitud de una manera "autónoma": la declaración "$X$está completo" sólo debe hacer referencia a$X$en sí mismo, no cualquier espacio ambiental presupuesta. Aquí es donde entran las sucesiones de Cauchy: para saber si una sucesión de elementos de$X$es Cauchy, no necesitamos ningún espacio ambiental para vivir - Cauchyness se determina completamente dentro$X$. Intuitivamente, una sucesión es de Cauchy si "debería" converger, y de ahí es de donde obtenemos la definición correcta de completitud:

$(**)\quad$ $X$es completa si cada sucesión de Cauchy en$X$converge en$X$.

Por cierto, con esta definición en la mano podemos hacer apropiadamente$(*)$un teorema , como sigue:

• Primero, mostramos que todo espacio métrico$X$tiene una terminación $\hat{X}$. En términos generales, apunta en$\hat{X}$son "nombrados" por secuencias de Cauchy de$X$, y para cada punto$x$en$X$la secuencia constante$(x,x,x,x,...)$"nombres"$x$en$\hat{X}$para que podamos pensar en$X$siendo literalmente un subconjunto de$\hat{X}$. Los detalles son más complicados: por un lado, ¡varias secuencias de Cauchy podrían nombrar el mismo punto! - pero esta es la idea básica.

• Este es el espacio ambiental que queríamos$(*)$! Ahora podemos demostrar que$X$es completa si y sólo si cada secuencia de elementos de$X$que es convergente en el sentido de$\hat{X}$, converge a algo en$X$ (en el sentido de cualquiera$X$o$\hat{X}$; estarán de acuerdo en esto) .

Observación : Este es un ejemplo de un fenómeno más general: que en matemáticas, con frecuencia queremos considerar objetos "por sí mismos" en lugar de incrustados en algún "objeto de fondo" más grande. Esto a menudo hace que las cosas sean más difíciles de visualizar, pero la recompensa es enorme. Por un lado, amplía la gama de objetos de los que podemos hablar (por ejemplo, en este caso,$(**)$hablemos de la (in)completitud de los espacios métricos sin ningún "fondo" obvio). Por otro, puede liberarnos de intuiciones en última instancia engañosas. Un buen ejemplo de esto es la idea de dimensión intrínseca : si insistimos en pensar en las superficies como incrustadas en un espacio ambiental, es natural decir que la esfera hueca es tridimensional mientras que la botella de Klein es tetradimensional, pero de la manera correcta. pensar en las cosas resulta ser que cada una es bidimensional.