Suma de n cuadrados (x21+x22+⋯+x2n)2(y21+y22+⋯+y2n)=z21+z22+⋯+z2n(x12+x22+⋯+xn2)2(y12+y22+⋯+yn2)=z12+z22+⋯ +zn2(x_1^2+x_2^2 + \puntos + x_n^2)^2 (y_1^2+y_2^2 + \puntos + y_n^2) = z_1^2+z_2^2 + \puntos + z_n^ 2

Considere esta identidad de 5 cuadrados,

( X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 + X 4 2 + X 5 2 ) 2 ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + y 4 2 + y 5 2 ) = z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + z 4 2 + z 5 2

dónde,

z 1 = ( − X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 + X 4 2 + X 5 2 ) y 1 − 2 X 1 ( 0 X 1 y 1 + X 2 y 2 + X 3 y 3 + X 4 y 4 + X 5 y 5 ) z 2 = ( X 1 2 − X 2 2 + X 3 2 + X 4 2 + X 5 2 ) y 2 − 2 X 2 ( X 1 y 1 + 0 X 2 y 2 + X 3 y 3 + X 4 y 4 + X 5 y 5 ) z 3 = ( X 1 2 + X 2 2 − X 3 2 + X 4 2 + X 5 2 ) y 3 − 2 X 3 ( X 1 y 1 + X 2 y 2 + 0 X 3 y 3 + X 4 y 4 + X 5 y 5 ) z 4 = ( X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 − X 4 2 + X 5 2 ) y 4 − 2 X 4 ( X 1 y 1 + X 2 y 2 + X 3 y 3 + 0 X 4 y 4 + X 5 y 5 ) z 5 = ( X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 + X 4 2 − X 5 2 ) y 5 − 2 X 5 ( X 1 y 1 + X 2 y 2 + X 3 y 3 + X 4 y 4 + 0 X 5 y 5 )

El patrón se ve fácilmente,

( X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X norte 2 ) 2 ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y norte 2 ) = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z norte 2

El caso n = 4 se usa en la Identidad de 8 cuadrados de Pfister . ¿Cómo probar que el patrón es cierto para TODOS los enteros positivos n ?

¿Hay un cuadrado equivocado en X 1 2 + ⋯ + X 5 2 en el título y la primera ecuación?
Mira el primer término. Conseguir ( ∑ X i 2 ) − 2 X 1 2 . Además, tiene en segundo sumando del primer término, − 2 X 1 ( ( ∑ X i y i ) − X 1 y 1 ) . ¡Pero sigue siendo desagradable!
@emiliocba: No, lo verifiqué con Mathematica y la identidad de 5 cuadrados es cierta.

Respuestas (1)

Podemos escribir

z k = y k ( ∑ i X i 2 − 2 X k 2 ) − 2 X k ∑ i ≠ k X i y i = y k ∑ i X i 2 − 2 X k ( ∑ i ≠ k X i y i + X k y k ) = y k ∑ i X i 2 − 2 X k ∑ i X i y i
así que con esperanza estamos trabajando en un anillo conmutativo
z k 2 = y k 2 ( ∑ i X i 2 ) 2 − 4 X k y k ( ∑ i X i 2 ) ( ∑ i X i y i ) + 4 X k 2 ( ∑ i X i y i ) 2
y finalmente
∑ k = 1 norte z k 2 = ∑ k = 1 norte y k 2 ( ∑ i X i 2 ) 2 − 4 X k y k ( ∑ i X i 2 ) ( ∑ i X i y i ) + 4 X k 2 ( ∑ i X i y i ) 2 = ( ∑ i X i 2 ) 2 ∑ k = 1 norte y k 2 − 4 ( ∑ k X k y k ) ( ∑ i X i 2 ) ( ∑ i X i y i ) + 4 ( ∑ k X k 2 ) ( ∑ i X i y i ) 2 = ( ∑ i X i 2 ) 2 ∑ k = 1 norte y k 2 .

estrictamente hablando, ¿es cierto que:
∑ k = 1 norte − 4 ( ∑ k X k y k ) ( ∑ i X i 2 ) ( ∑ i X i y i ) + 4 ( ∑ k X k 2 ) ( ∑ i X i y i ) 2 = 0
??????? No digo que estés equivocado, simplemente digo que me parece extraño. ¿Tienes alguna forma de aclarar esto? Mi problema radica en el hecho de que está cancelando sumas que tienen términos similares pero índices diferentes.
@user22144: en la igualdad que escribes, no debería haber ∑ k = 1 norte . El último paso de mi cálculo es de hecho una consecuencia del hecho de que ∑ i = 1 norte C i = ∑ j = 1 norte C j .
Estimado @Davide: ¡Muchas gracias! Cuando me topé por primera vez con la forma general en el contexto de la "Identidad de 8 cuadrados de Pfister", supuse que era solo para n = 2^m. Pero un poco de experimentación con Mathematica demostró que era más que eso. Es bueno saber que de hecho es válido para todo n. Gracias de nuevo.
@DavideGiraudo, mi error! Había malinterpretado la suma. No es de extrañar que se viera tan extraño.
Davide, puede que te interese esto: math.stackexchange.com/questions/751167/… :0)
Suma de n cuadrados (x21+x22+⋯+x2n)2(y21+y22+⋯+y2n)=z21+z22+⋯+z2n(x12+x22+⋯+xn2)2(y12+y22+⋯+yn2)=z12+z22+⋯ +zn2(x_1^2+x_2^2 + \puntos + x_n^2)^2 (y_1^2+y_2^2 + \puntos + y_n^2) = z_1^2+z_2^2 + \puntos + z_n^ 2
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