La imagen de un mapa lineal graduado está clasificada

Dejar$A$ser un anillo graduado,$M,N$calificado$A$-módulos y$u:M\rightarrow N$un mapa lineal graduado de grado$\delta$. quiero mostrar eso$\text{Im}(u)$es un submódulo graduado de$N$. Es suficiente probar que$\text{Im}(u)$es generado por elementos homogéneos.

Dejar$y\in\text{Im}(u)$. Entonces existe$x\in M$tal que$y=u(x)$. Podemos escribir$y$y$x$como suma única de sus componentes homogéneos:$x=\sum_{\lambda\in\Delta}m_\lambda$y$y=\sum_{\lambda\in\Delta}n_\lambda$. Esto implica que$y=u(x)=\sum_{\lambda\in\Delta}u(m_\lambda)$, dónde$u(m_\lambda)\in N_{\lambda+\delta}$, para todos$\lambda\in\Delta$.

No estoy seguro de qué hacer en este momento; ¿Cómo puedo usar los datos anteriores para encontrar un sistema generador de$N$cuyos elementos son homogéneos?

Notación: Sea$(A_\lambda)_\lambda$,$(M_\lambda)_\lambda$y$(N_\lambda)_\lambda$ser las calificaciones de$A,M$y$N$, respectivamente.