Representación matricial del mapa lineal: ¿devuelve una matriz no cuadrada?

Question

Representación matricial del mapa lineal: ¿devuelve una matriz no cuadrada?

Matemáticas
álgebra lineal
álgebra abstracta
solución-verificación

pavo131

Dejar $V$ ser el espacio vectorial real $V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x+y+z=0\}$ . Considere la base para $V$ dada por $B=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ .

Considere el mapa lineal $\psi:V\rightarrow V$ definido por $\psi(x,y,z)=(z,y,x)$ .

Encuentre la representación matricial $M_B(\psi)$ de $\psi$ .

Pensé que una representación de matriz sería la matriz con filas como el efecto del mapa lineal en las columnas de la base. Entonces tendríamos $M_B(\psi)=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}$ . Pero la siguiente parte de la pregunta pide valores propios que no pueden existir como $M$ no es una matriz cuadrada. ¿Alguien puede ayudar?

Campo ciclotómico

Tenga en cuenta que está asignando dos vectores a otros dos vectores en el mismo espacio. Esto significa que la matriz debe ser

2 \times 2

$2 \times 2$ . en general si

V

$V$ tiene dimensión

n

$n$ entonces cualquier mapa lineal

V \to V

$V \rightarrow V$ tendrá un

n \times n

$n \times n$ representación matricial independientemente de la base que utilice.

Respuestas (1)

Representación matricial del mapa lineal: ¿devuelve una matriz no cuadrada?

Tenga en cuenta que está asignando dos vectores a otros dos vectores en el mismo espacio. Esto significa que la matriz debe ser $2 \times 2$ . en general si $V$ tiene dimensión $n$ entonces cualquier mapa lineal $V \rightarrow V$ tendrá un $n \times n$ representación matricial independientemente de la base que utilice.

Ben Grossman · Answer 1

Lo que se pensaba acerca de las representaciones matriciales es incorrecto. Así es como haría para encontrar las entradas de la $2 \times 2$ matriz de $\psi$ relativo a la base $B$ . Dejar $v_1,v_2$ denota los elementos de $B$ . Encontramos eso

ψ (v_{1}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = 0 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2} .

$\psi(v_1) = \pmatrix{0\\1\\-1} = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2.$ En consecuencia, la primera columna de

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ es dado por

(0, 1)

$(0,1)$ . Es decir, tenemos

{METRO}_{B} (ψ) = (\begin{matrix} 0 & ? \\ 1 & ? \end{matrix}) .

$M_{B}(\psi) = \pmatrix{0&?\\1&?}.$ La segunda columna de

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ se puede encontrar expresando

ψ (v_{2})

$\psi(v_2)$ como combinación lineal de

v_{1}

$v_1$ y

v_{2}

$v_2$ . Encontramos eso

ψ (v_{2}) = (- 1) \cdot v_{1} + (- 1) \cdot v_{2}

$\psi(v_2) = (-1)\cdot v_1 + (-1)\cdot v_2$ , de modo que la segunda columna de

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ es

(- 1, - 1)

$(-1,-1)$ . Poniendo todo eso junto, encontramos que la matriz está dada por

{METRO}_{B} (ψ) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) .

$M_B(\psi) = \pmatrix{0&-1\\1&-1}.$

¿Qué sucede con la tercera entrada de la representación matricial? Como en, ¿el $-1$ no tiene efecto?
@ turkey131 No entiendo por qué cree que debería haber una "tercera entrada", ni entiendo qué quiere decir con el "efecto" de la $-1$ .
@turkey131 Tal vez crea que la forma en que producimos esta primera columna es computando $\psi(v_1)$ y tomando solo las dos primeras entradas. Eso no es lo que está pasando aquí. Le sugiero que se tome un minuto para tratar de entender el texto explicativo.
@turkey131 Tenga en cuenta que $ψ (v_{2}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .$ $\psi(v_2) = \pmatrix{-1\\0\\1}.$ La columna correspondiente de $M_B(\psi)$ (es decir, las coordenadas de esta salida en relación con la base $B$ ) es $(-1,-1)$ . Tenga en cuenta que no usamos simplemente las dos primeras entradas del resultado.

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