Espacios vectoriales y grupos

Acabo de terminar un curso de álgebra lineal. Soy estudiante de física y no planeo tomar un curso de álgebra abstracta. Dicho esto, he estado leyendo un poco al respecto.

Según tengo entendido, un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V junto con dos operaciones, multiplicación escalar (*) y suma vectorial (+), que cumplen las siguientes condiciones:

  1. Asociatividad de la suma de vectores ... tu + ( v + w ) = ( tu + v ) + w
  2. Conmutatividad de la suma de vectores... tu + v = v + tu
  3. Elemento de identidad de la suma de vectores ... tu + 0 = tu
  4. Elemento inverso de la suma de vectores... tu + ( − tu ) = 0
  5. Elemento de identidad de la multiplicación escalar ... 1 ∗ tu = tu
  6. Distributividad de la multiplicación escalar ... a ∗ ( tu + v ) = a ∗ tu + a ∗ v
  7. Cierre... Si tu , v están en V , C ∗ tu + d ∗ v también está en V .

Un grupo es un conjunto. GRAMO junto con una operación ( ∗ ) satisfaciendo lo siguiente:

  1. Cierre... Si gramo , h están en GRAMO , entonces gramo ∗ h también está en GRAMO .
  2. Asociatividad... ( gramo ∗ h ) ∗ j = gramo ∗ ( h ∗ j )
  3. Elemento de identidad... gramo ∗ mi = mi ∗ gramo = gramo
  4. Para cada gramo en GRAMO , existe h tal que gramo ∗ h = mi .

Tengo algunas preguntas:

  1. ¿Son correctas mis definiciones de espacios vectoriales y grupos?
  2. ¿Cuál es la diferencia clave entre espacios vectoriales y grupos? Me parecen muy parecidos.
  3. Mi profesor de álgebra lineal me dijo que es solo una conveniencia pensar en los vectores como flechas en R^3 con dirección y magnitud. Dijo que los vectores son un concepto mucho más abstracto y general. Entonces, ¿qué son realmente los vectores?
  4. ¿Existen conjuntos que sean a la vez un espacio vectorial y un grupo?

¡Muchas gracias por adelantado!

Un espacio vectorial es un grupo abeliano con una acción por un campo. Entonces todo espacio vectorial es también un grupo. Pero no todo grupo puede ser un espacio vectorial, por ejemplo si no es abeliano.
Vas a necesitar, al menos , algo de álgebra lineal razonablemente avanzada y algo de teoría de grupos de Lie en física más adelante, por lo que decidir no tomar álgebra abstracta podría ser una mala idea. En mi universidad, era obligatorio que los estudiantes de física tomaran al menos un curso básico de teoría de grupos y anillos.
(3) Es la pregunta difícil, porque hay muchos usos de los espacios vectoriales en bastantes casos. Es una generalización que simplemente surge lo suficiente en matemáticas como para llamarlos de la misma manera y estudiarlos, pero es difícil dar una idea visual de lo que está sucediendo, ya que algunos campos no tienen una intuición visual.
@Timbuc Gracias por el consejo. En mi universidad (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign) no es obligatorio que los estudiantes de física tomen álgebra abstracta. Sin embargo, es obligatorio para nosotros tomar álgebra lineal y análisis complejo. El resto depende de nosotros lo que tomamos.
No, no todos los grupos abelianos son espacios vectoriales. Los enteros son un grupo abeliano, pero no son un espacio vectorial.
El consejo de Timbuc no es obligatorio, es lo que quieres hacer si quieres estudiar física. :)
Un espacio vectorial no es solo un tipo especial de grupo. La acción del campo escalar es una estructura adicional. No todo grupo abeliano puede ser un espacio vectorial. Sin embargo, si modifica ligeramente la definición, obtiene algo estrechamente relacionado llamado módulo. Un módulo es un grupo abeliano con acción de anillo. Básicamente es un espacio vectorial donde no puedes dividir por escalares. Todo grupo abeliano es canónicamente un módulo sobre el anillo de los enteros.
@Cody, según mis amigos (los mejores de los cuales son todos físicos), no hay manera de llegar a la teoría de las partículas elementales sin los Grupos de Mentiras... pero como mencionó Thomas: mi comentario no fue sobre lo obligatorio sino sobre lo que necesitarás hacer frente a sus estudios.
@Timbuc Gracias de nuevo. Me pregunto por qué no es obligatorio en mi universidad si es tan importante entender la física de nivel superior. Tengo algunos amigos que son estudiantes de física en otras universidades y el álgebra abstracta tampoco es obligatorio para ellos. ¿Quizás eso necesita cambiar?
@ziggurism Ya veo. Con un espacio vectorial tienes el campo F y el espacio V. Con un grupo solo tienes el conjunto G. ¿Estás diciendo que esa es la principal diferencia?
Tenga en cuenta que cuando las personas dicen que los espacios vectoriales son grupos abelianos, quieren decir con el operador + . El nombre del operador en la teoría de grupos tiende a usar símbolos de multiplicación como operadores ( ∗ , ⋅ , etc.,) porque los grupos pueden ser no conmutativos, y + suele ser conmutativo.)
@Cody, no puedo decirlo. Estoy en la escuela de posgrado en matemáticas y solo sé cuando mis amigos físicos se me acercaron con lágrimas en los ojos para pedir ayuda para entender algo en la teoría de operadores lineales (álgebra lineal) y Grupos de Lie (grupos particulares de matrices). Tal vez el curso de tu universidad incluya una introducción rápida a estas cosas solo para poder trabajar con ellas.
@Cody: esa es la diferencia entre grupos abelianos y espacios vectoriales. La diferencia entre los grupos abelianos y todos los grupos es bastante grande. Por supuesto, los grupos abelianos son un tipo especial de grupo.
@Timbuc: estoy de acuerdo en que el álgebra abstracta es necesaria para la física eventualmente. Pero principalmente a nivel de posgrado. Un estudiante de física probablemente pueda escabullirse sin él. Aunque estoy de acuerdo en que sería beneficioso.
@Cody: mi texto de álgebra abstracta favorito es probablemente Jacobson. A mucha gente le gusta Lang. Dummit y foote para una elección más elemental. Pero esos son todos los libros de texto de matemáticas. Para los físicos están Georgi, Glashow y Cornwall. Probablemente comenzaría con georgi.

Respuestas (1)

  1. Sí. Pero no es necesario agregar el cierre en estas definiciones Para los grupos, por ejemplo, observe que una operación es, ante todo, una función ⋅ : GRAMO × GRAMO → GRAMO . y que su codominio es GRAMO sí mismo.

  2. Un espacio vectorial es un 4 − tupla ( V , k , + , ⋅ ) , dónde

    + : V 2 → V y ⋅ : k × V → V
    son las operaciones. La estructura de un espacio vectorial es mucho más rica que la de un grupo. Un espacio vectorial tiene dos operaciones y un campo subyacente, mientras que un grupo es solo el conjunto con una operación (satisfaciendo condiciones que bien conoces). Dado un espacio vectorial ( V , k , + , ⋅ ) , ( V , + ) es un grupo abeliano, siempre. Respondiendo 4. a lo largo, dado un campo k , k norte es a la vez un campo vectorial y un grupo aditivo, con respecto a las operaciones de k .

  3. Los vectores son elementos de un espacio vectorial. Es solo un nombre. Ejemplos de espacios vectoriales son:

    • Polinomios de grado menor o igual que norte , con coeficientes reales: PAG norte ( R ) .
    • Todas las funciones continuas de [ 0 , 1 ] a R : C 0 ( [ 0 , 1 ] , R )
    • R norte sí mismo.
    • Matrices con coeficientes reales: METRO norte × metro ( R ) .

y muchas cosas mas solía R para la concreción, en general, puede tomar un campo arbitrario (para polinomios, matrices, etc.). Entonces un vector puede ser una flecha, una función, un polinomio, una matriz...

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