Problema de transformación lineal - verificación de solución; demostrando resultados generales en álgebra lineal

Dejar$U,V,W$ser espacios vectoriales de dimensión finita sobre$\mathbb{R}$. Dejar$T:U\rightarrow V, S:V\rightarrow W$ser transformaciones lineales.

(i) Demostrar que$ker(T)\subseteq ker(ST)$y deducir que$rank(T)\ge rank (ST)$

(ii) Si$S$es 1-1 prueba que$ker(ST)\subseteq ker(T)$y eso$rank(ST)=rank(T)$

(iii) Supongamos$\{u_1,u_2,u_3\}$es una base para$U$,$\{v_1,v_2\}$es una base para$V$y eso$T$es definido por$T(u_1)=v_1+v_2, T(u_2)=2v_1+v_2, T(u_3)=v_1-v_2$. Pruebalo$T$mapas$U$sobre la totalidad de$V$pero eso$T$no es 1-1.

Mi solución:

(i)$Ker(ST)=\{u|S(T(u))=0\}$. Si$S$es 1-1 entonces$Ker (ST)=Ker(T)$. Pero si$S$no es 1-1 entonces para algunos$v$tenemos$S(v)=0$, con$v\ne 0$. Podemos tener$v=T(u)$y entonces$ST(u)=0$con$T(u)\ne 0$. Como tal$Ker(T)\subseteq Ker(ST)$. El teorema de nulidad de rango dice que$rank(T)=n-null(T)\ge n-null(ST)$por la línea anterior. Como tal$rank(ST)\ge rank(T)$como se afirma.

(ii) Si$S$es 1-1 entonces$S(a)=S(b)\Rightarrow a=b$.$Ker(ST)=\{u|ST(u)=0\}$.Pero desde$S$es 1-1 y$S(0)=0$tenemos$T(u)=0$. Como tal$Ker(ST)=\{0\}\subseteq Ker(T)$, como$T$no puede ser 1-1. entonces$rank(T)\le rank(ST)$. Pero demostramos antes el resultado opuesto y la combinación de estos da$rank(ST)=rank(T)$.

(iii) No confío en esta solución, ya que no utiliza$T(v_2)$en cualquier lugar.$T(u_1+u_3)=2v_1$y también$T(u_1-u_3)=2v_2$. Entonces tenemos escalares$\alpha, \beta$tal que$\alpha T(u_1+u_3)+\beta T(u_1-u_3)=\alpha v_1+\beta v_2$cual es la condicion para extender$V$. Aunque no sé cómo mostrar que no es 1-1.

¿Es correcta mi solución?