Prueba de que la intersección de dos subespacios es {0}

Dado$V$un espacio vectorial K, y$E_1, E_2$subespacios de V. Si$B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$y$B_2=\{w_1,\dots,w_s\}$son dos bases de$E_1$y$E_2$y los vectores de la base son linealmente independientes, es decir, el conjunto${v_1,...,v_m,w_1,...,w_s}$es linealmente independiente, entonces$E_1 \cap E_2=\{0\}$. Suponer que$E_1 \cap E_2 \neq \{0\}$. Entonces hay un vector no nulo$u \in E_1 \cap E_2$. Entonces$u \in E_1$y$u \in E_2$. Luego hay una expresión de u en términos de la base$B_1, B_2$. Entonces$u=a_1v_1+\dots+a_mv_m$y$u=b_1w_1+\dots+b_sw_s$, con$a_1,\dots, a_m,b_1, \dots,b_s \in K$. Entonces$a_1v_1+\dots+a_mv_m=b_1w_1+\dots+b_sw_s$. Entonces$a_1v_1+\dots+a_mv_m-(b_1w_1+\dots+b_sw_s)=0$. Los vectores son linealmente independientes, por lo que$a_1=\dots=a_m=b_1=\dots=b_s=0$. Por eso$v=0$, contradicción creciente.

¿Es correcta esa prueba?