¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

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¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

suma
Matemáticas
análisis real
secuencias y series
convergencia divergencia

ubuntu_noob

Entonces, estaba leyendo sobre la prueba integral para la convergencia de una serie de wikipedia, que dice que la serie converge si la integral de la función monótonamente decreciente converge, pero según mi intuición

\int_{1}^{\infty} F (X) d X \leq \sum_{k = 1}^{+ \infty} F (k)

$\int_{1}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\leq\sum_{k=1}^{+\infty}f(k)$

Simplemente porque la función es monótonamente decreciente y positiva. En ese caso, podría tener integrales convergentes y la serie divergente, todo lo que podría decir es que si la integral diverge, la serie definitivamente diverge. Quiero decir, parece más una prueba de divergencia que una prueba de convergencia. ¿Me estoy equivocando en alguna parte? Cualquier ayuda se agradece sinceramente, ya que no soy uno con una formación matemática formal.

Ѕᴀᴀᴅ

Sin mayúsculas, por favor.

ubuntu_noob

@AlexFrancisco Ok, no hay problema... alguien ya lo editó

Respuestas (2)

¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

B. Goddard · Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $N$ , tenemos

\sum_{norte = 2}^{norte} F (norte) \leq \int_{1}^{norte} F (X) d X \leq \sum_{norte = 1}^{norte} F (norte) .

$\sum_{n=2}^{N} f(n) \leq \int_1^N f(x) \; dx\leq \sum_{n=1}^{N} f(n).$

(Donde lo que hay que notar es el límite inferior de la primera suma). Si está imaginando la integral como un área y la suma de la derecha como un área de rectángulos de 1 unidad de ancho, entonces imagine la suma de la izquierda como los mismos rectángulos, pero desplazados hacia la izquierda una unidad (y deseche el primer rectángulo).

La desigualdad muestra que las sumas y la integral convergen o divergen juntas.

Bagazo · Answer 2

Tenga en cuenta que desde $f$ está disminuyendo

\int_{1}^{\infty} F (X) d X \geq \int_{1}^{\infty} F (⌈ X ⌉) d X = \sum_{norte = 2}^{\infty} F (norte) .

$\int_{1}^{\infty}f(x)dx \ge \int_{1}^{\infty}f(\lceil x \rceil)dx = \sum_{n=2}^{\infty}f(n).$

¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

ubuntu_noob

Ѕᴀᴀᴅ

ubuntu_noob

Respuestas (2)

B. Goddard

Bagazo

Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

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